《全局光照技术》学习笔记（一）——平面角和立体角

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0：碎碎念

　　原本这种知识点没必须写的，但是奈何我基础太差还是看了一天才看懂，故整理上来

1：平面角：

       说到平面角可能不少人一时半会儿反应不过来，其实平面角就是我们二维图形中的普通的角。

　　在初高中时我们在学习平面几何时也应该接触过，角度和弧度之间的关系，这里为了清晰稍微重新讲一下

       弧度制：

　　为什么引入弧度(radian)制呢？因为18世纪以前的人是用线段之间的关系来表示三角函数的。为了简化这一方式，数学家Roger Cotes在1714年提出了弧度制的概念，用

　\[{\rm{rad}}ian = \frac{{{\rm{arc}}}}{r}\]来表示，因为弧长(arc)是随着半径(r)的增加也线性增加的，所以比值是恒定的，这个公式我们先把他当做基础公式来看。

　　代表圆上A到B到C的圆弧的长度，即弧长。（之所以中间有个B是为了确定A到C的路径，从A到C有顺时针和逆时针两个方向）

既然我们知道了弧度的含义，我们还知道圆的面积\[s = \pi {r^2}\]，圆的周长为 \[L = 2\pi r\]，L就是该圆的整个弧长。我们就能随之推导出

　　我们这回再正式定义一下平面角，平面角的定义是一个点对一个线段所展开的角的大小

　　在高等数学里，我们往往在微分层面上来表示角。

　　如上图所示

　　我们用 dα 代表角的微分，也就是最小单元

　　r代表以A为圆心AB长为半径的圆的半径，BF是圆上的一个圆弧

　　第一个部分应该很好理解，就是我们的弧度公式，第二部分的话我们将BC视为线段元，是非常非常小的线段，既然是线段那么就和有夹角，线段和弧的夹角即为和弧切线的夹角，就是θ。所以切线BG上的线段BG=BCcosθ，即BC往切线上的投影大小。

　　在这里我们把图画的非常大了，我们将弧线分成无数个小段，在每一段都用其切线长度来代替其圆弧长度，在微分状态下由于切线长度趋于0所以其所有的小切线的长度之和也为定值即，而切线就相当于我们的线段的投影，所以就是dBCcosθ

　　将这个微分公式积分就是我们正常的角度公式了

　　角度制：

　　单位角度是将一整个圆的弧度平分成360份之后，以此为单位划分的度量方法。

        \[{1^ \circ } = \frac{{2\pi }}{{360}} = \frac{\pi }{{180}}\]

　　角度制是我们生活中常见的度量单位，但是在数学物理领域往往都是用的弧度制，所以之后暂不考虑

2：立体角：

　　让我们回到正题，平面角实际上就是弧度制的角，那么我们可以把这个概念推广到三维的立体几何上

（因为图太难画所以借用一下别人的图）

转自：《全局光照技术》学习笔记（一）——平面角和立体角

　　刚才说了平面角是线段对于一个点来说的，所张开的角度的大小，那么立体角就是一个面对于一个圆来说所张开的角的大小。

转自：https://wenku.baidu.com/view/28e2be48c850ad02de804140.html

 

 

　　点M的三维坐标系可以从图上直接看出来，即为

\[\left\{ \begin{array}{l}
x = r\sin \varphi \cos \theta \\
y = r\sin \varphi \sin \theta \\
z = r\cos \varphi
\end{array} \right.\]

　　则(r,θ,φ)在三个地方处的分量则为

\[\left\{ \begin{array}{l}
dl(r) = dr\\
dl(\theta ) = r\sin \varphi d\theta \\
dl(\varphi ) = rd\varphi
\end{array} \right.\]

　　是不是一时间没看出分量是指哪里对吧，让我们再看下下图

https://blog.csdn.net/sunbobosun56801/article/details/80428845

 

 

　　dl(r)其实就是半径上的长度，很好理解就是dr(球的半径)

　　那么dl(θ)根据上图我们可以看出就是O’为圆心的红色的圆的一段弧长，还记得我们前面的弧长公式吗 ，dl(θ)就为半径r*dθ(红色圆的半径)，而红色圆的半径=球的半径*sinφ

　　所以就得出了第二个公式

　　第三个公式那也就同理了，就是绿色的圆上的弧长，即为r*dφ

　　我们微分层面上计算面积可以将dl(φ)和dl(θ)视为直线，把他们视为一个长方形，面积就是\[dl(\theta )*dl(\varphi ){\rm{ = }}r\sin \varphi d\theta *rd\varphi  = {r^2}\sin \varphi d\theta d\varphi \]

　　我们设半径为单位长度1，球面上的任意一块区域A的面积即为\[\int {\int {_A\sin \theta {\rm{d}}\theta d\varphi } } \]

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