二进制的补码

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今天在学习C Primer Plus(第五版)中文版.pdf的时候遇到这么个问题，先上代码：

#include <stdio.h>
#define PAGES 336
#define WORDS 65618
int main(void)
{
        short num = PAGES;
        short mnum = -PAGES;

        printf("num as short and unsigned short:%hd %hu\n",num,num);
        printf("-num as short and unsigned short:%hd %hu\n",mnum,mnum);
        printf("num as int and char:%d %c\n",num,num);
        printf("WORDS as int,short,and char:%d %hd %c\n",WORDS,WORDS,WORDS);return 0;
}

结果：

num as short and unsigned short:336 336
-num as short and unsigned short:-336 65200
num as int and char:336 P
WORDS as int,short,and char:65618 82 R

请看我标红的部分，其实我蛮想不明白的，为什么-336的无符号整数是65200呢？书上说是2的补码（书中描述）：数字0到32767代表它们本身，而数字32768到65535则代表负数，65535代表-1，65534代表-2，依次类推，因此-336由65536-336，也即65200来表示；本宝宝表示真心没看懂啥意思，然后就在网上各种找二进制的补码是啥意思，下面咱们就来看看什么是二进制的补码

我试验的计算及环境假设是8位的，那接下来我就拿计算机是8位作基础来讲解：

一、负数在计算机中如何表示

　　之前我写了一篇博客，里面是计算c语言整数类型的取值范围的额，二进制中区分正负数的方法是看二进制的最高位是0还是1，1为负数，0为正数

　　比如：127的二进制是01111111，而-127的二进制是 10000001（011111111 – 先取反，再加1 ->10000000+1 = 10000001），从这里可以看出127的最高位是0，而-127的最高位是1

二、什么是二进制补码

　　取一个数的二进制补码需要两步：

　　1>.每个二进制位都取相反的值，也就是二进制位是1的，补码就是0，二进制位是0的，补码就是1

　　2>.再把取反的二进制数转换成十进制，加上1，最后的结果就是这个数的补码的十进制数

　　举例：取-127的二进制补码(8位机)

　　　　二进制数：01111111

　　　　补码：10000000

　　　　结果：补码 10000000 + 1 = 10000001(129)

　　　　也就是说-127在计算机(8位机)中10000001（写到这里，我突然有点明白C Primer Plus书中描述的啥意思：0-127代表它本身，128-255代表负数，那-127就等于256-127=129）

　　那可能很多人会说：为什么是这样啊？虽然知道怎么计算了，但是不知道为什么是这么计算的，那么接下来就来说说二进制补码的原理

三、二进制补码的原理

　　那大家都知道负数怎么来的，比如：A-B，那A比B小，结果就会是负数，这就有很多情况了，咱不讨论，就比如给你一个负数，那么最直接的你肯定会想到一个表达式了，比如给你个-127，那表达式就是0-127的来的，那我们把他转换成二进制来运算一下：

　　预想结果：-127

　　十进制表达式：0-127

　　二进制表达式：00000000(0) – 01111111(127)

　　以前小学数学当被减数大于减数的时候都要向上借一位来减的，那么接下来就是借位（）

　　重点：这里计算的时候二进制的位数是有规定的，比如-127，它是1111111 由7个1的二进制，那同学就用7个0的二进制去减，结果借一位变成了10000000(128)-1111111(127) = 1，然后在加1等于2，结果-127的补码就是00000010(2)，这样可是错的，一定要遵守一个标准，那就是当前计算机是多少位的就借多少位加1位，那么比如-10是1010,就是00001010,借位就得在第9位上借，也就是100000000,结果就是246(11110110)

　　借位进行运算：

　　　　1>.100000000(256) – 01111111(127) = 10000001(129)

　　　　2>.100000000(256) = 11111111(255) + 1;

　　　　　　11111111(255) – 01111111(127) = 10000000(128)

　　　　　　10000000(128) + 1 = 10000001(129)

　　上面就是二进制补码的简单计算过程

四、二进制补码有哪些好处呢？

　　感觉不就是一个负数而已，非要搞的这么弯弯绕，我反正是晕了，那接下来就看下二进制补码的好处

　　那我们之前说的判断最高位是1还是0来区分正负，那接下来我们就用两种表示法来计算作比较：

　　举例：-10

　　表达式：20 + (-10)

　　1>.最高位区分正负：-10的二进制数为10001010

　　　　二进制计算：00010100 + 10001010 = 10011110

　　　　10011110转换成十进制是30，根据最高位区分正负，结果就是-30

　　2>.再来看看二进制补码的方式进行计算：-10的二进制补码(11110101 + 1 = 11110110(246))

　　　　二进制计算：00010100 + 11110110 = 100001010 

　　　　而咱们刚才已经说了，假设计算机是8位的，那么这个结果超过8位，第九位会被舍弃，也就是00001010，结果就是10

五、为什么正数加法适用于二进制补码呢？

　　接下来我们求证一下X-Y(x + (-Y))这个表达式，相信大家就明白了（8位机）

　　Y的二进制补码由上面的讲解大家都知道是：(11111111 – Y) + 1 ,所以也就是X加上Y的二进制补码，表达式可以写成如下格式：X + (11111111 – Y) + 1

　　得到这个表达式就好办了，接下来我们分成两种情况来解释：

　　1>.那就是X小于Y，那么结果肯定是个负数了，我们采用二进制的补码的逆运算，求出它对应的正绝对值，再在前面加一个负号就可以了

　　　　第一步：计算Z、X、Y的二进制补码的表达式 Z = -((11111111 – Z) + 1);X = (11111111 – X) + 1;Y = (11111111 – Y) + 1;

　　　　第二步：根据表达式X + (11111111 – Y) + 1来替换计算：-( ( ( 11111111 – X) + 1 ) – ( ( 11111111 – Y ) + 1 ) ) = -(11111111 – X + 1 – 11111111 + Y – 1) = -( -X + Y) = X – Y; 

　　2>.X大于Y，那结果肯定是正数，那意味着Z肯定大于11111111，那根据8位机，第九位溢出了，就要舍去，表达式为(不太明白…)：

　　　　Z = Z – 100000000 = X + (11111111 – Y) + 1 – 100000000 = X – Y;

　　文章出自：http://www.ruanyifeng.com/blog/2009/08/twos_complement.htm