矩阵特征向量和特征值的含义

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矩阵特征向量和特征值的含义,几何物理意义

 A是n阶矩阵，x是n维列向量，则 A x 也是n维列向量，当然它己经改变了原来的 x 的大小与方向。有没有一个特别的非零向量  ，使得向量 A x 仅仅使向量x伸长了若干倍而没有改变其方向呢？这个使 A x = λ x  成立的特别的向量因矩阵A而定，反映A的内在特性，故称之为特征向量，相应的数称为特征值。

定义：设A为n阶方阵，若存在数 λ 及非零向量x使 A x = λ x ，则称数 λ 为A的特征值，x为A的对应于 λ  的特征向量。

1. 只有方阵才有特征向量；
2. 特征向量是非零列向量；
3. 对应于同一特征值的特征向量有无穷多。

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矩阵的特征值与特征向量的几何意义

1、矩阵乘法的几何意义

    矩阵乘法的几何意义就是对一个向量进行一定的变化，变成一个新的向量。在变化过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某些向量只发生伸缩变化的话，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。

例如，这个矩阵的线性变化形式如下（把第一维度拉长3倍【乘以3】；第二维度不变【乘以1】）

如果矩阵不是对称的，则该矩阵描述的变换如下（第一维度变为了 x+y; 第二维度没有变）：

这其实相当于在平面对一个轴做拉伸变化，图中的蓝色箭头就是最主要的变化方向。变化的方向可能不止一个，但只需要描述好这个变换的最主要的变换方向就好了。

2、特征值分解与特征向量

    设A为一个方阵，v为一个非零列向量，若，则称为A的特征值，v为矩阵A 对应于特征值的特征向量。

特征值分解：    将矩阵A分解为如下形式：。

Q为矩阵A的特征向量v组成的矩阵（一个变换方阵的所有特征向量组成了这个变换矩阵的一组基），为一个对角阵，主对角线上的元素为A的特征值从小到大排列。这些特征值所对应的特征向量用来描述矩阵A的变换方向，从最主要的变换到最次要的变换排列。也就是说，一个矩阵的信息可由其特征值和特征向量来描述。

   对于矩阵为高维的情况下，那么这个矩阵就是高维空间下的一个线性变换。可以想象，这个变换也同样有很多的变换方向，我们通过特征值分解得到的前N个特征向量，那么就对应了这个矩阵最主要的N个变化方向。我们利用这前N个变化方向，就可以近似这个矩阵（变换）。

    总结一下，特征值分解可以得到特征值与特征向量，特征值表示的是这个特征到底有多重要，而特征向量表示这个特征是什么。不过，特征值分解也有很多的局限，比如说变换的矩阵必须是方阵。

    在机器学习的特征提取中，对应特征值越大的特征向量包含的信息越多。如果某特征向量对应的特征值很小，就可以把它去掉（降维），只保留特征值大的方向的信息，这样就可以减少数据量，PCA降维就是应用了这一原理。

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就是寻找一个正交系去表示你原来的函数，特征向量就是新的正交系的坐标轴，特征值就是坐标轴对应的坐标。

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• 矩阵乘法即线性变换——对向量进行旋转和长度伸缩，效果与函数相同;
• 特征向量指向只缩放不旋转的方向;
• 特征值即缩放因子;
• 旋转矩阵无实数特征向量和特征值。

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