线性代数精华2——逆矩阵的推导过程

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上一讲当中我们复习了行列式的内容，行列式只是开胃小菜，线性代数的大头还是矩阵。

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矩阵的定义很简单，就是若干个数按照顺序排列在一起的数表。比如m * n个数，排成一个m * n的数表，就称为一个m * n的矩阵。

矩阵运算的相关性质不多，主要的有这么几点：

• 矩阵的加法有结合律和交换律
• 矩阵的乘法没有交换律
• m*n的矩阵乘上n*k的矩阵的结果是一个m*k的矩阵

很多人会觉得矩阵乘法比较复杂，不仅是计算复杂，而且经常会记不清运算的方法。会觉得复杂，可能只是因为我们将它当做了数学公式来生硬的记忆，而没有理解其中的原理。

我们不妨假设A和B分别是一个m*n和n*k的矩阵：

那么，

其中，

Arowi指的是A矩阵中第i行的行向量，同样Bcolj指的是B矩阵中第j列的列向量。

我们单从公式上来看不太容易理解，但我们可以转变一下思路。将B不要当做一个完整的矩阵，而当做是k个列向量的集合，代表一种线性变换。将一个n维的向量线性变换到k维空间的变换。

那么A和B矩阵相乘的结果，其实也就意味着A矩阵当中m个n维向量分别进行线性变换之后组合成的新矩阵。向量的数量没有变，还是m个，只不过维度从n变成了k，所以最终的结果是一个m*k的矩阵。

这点搞明白了之后，就到了接下来的重头戏——逆矩阵。

我们先来看一下逆矩阵的定义，假设A是一个n阶的方阵，如果存在一个矩阵B，使得A⋅B的结果是单位矩阵I，那么就称B是A的逆矩阵。

计算逆矩阵需要用到之前介绍过的代数余子式，如果不清楚的同学可以回顾一下之前关于行列式的相关内容。

线性代数精华1——从行列式开始

我们列举出所有的代数余子式，将这些余子式组合成一个矩阵，这样的矩阵称为伴随矩阵。定义如下：

通过上面的定义，我们可以看出来，伴随矩阵也是一个n阶的方阵。关于伴随矩阵，有一个定理：

其中I是n阶的单位矩阵，也即是正对角线全为1，其他位置均为0的方阵。

我们来试着证明一下这个定理：

显然A A*也是一个n阶的矩阵，令结果为B。我们写出B矩阵当中的每一项Bij

当i=j时，

在上一篇文章当中，我们介绍过，矩阵中的某一行与它对应的代数余子式的乘积为行列式的值：

这点其实没什么需要证明的，我们把式子展开就可以得到了。为了方便观察，我们用三阶行列式举例。

我们令

我们以B12为例：

接着，我们把代数余子式展开：

根据我们之前关于代数余子式的定义，这个式子其实是以下这个矩阵行列式根据第一行展开的结果：

再根据行列式的性质，如果一个n阶的行列式当中存在某两行或者某两列相同，那么行列式的值等于0。

同样展开其他的Bij，我们可以证明：

所以B=|A|I，使用同样的方法，也可以证明A∗A=|A|I

我们费这么大力气证明伴随矩阵有什么用呢？其实是为了求逆矩阵做准备。有了伴随矩阵的这个性质，我们求逆矩阵就方便了。

在求解之前，我们先来看一下逆矩阵的定义。

假设存在方阵B，使得AB=BA=I，那么就称作B是A的逆矩阵。

在我们介绍逆矩阵的计算方法之前，需要先明确，逆矩阵不等于矩阵转置。矩阵转置的操作是将一个矩阵行和列互换，在线性代数当中，矩阵A的转置记作AT，而A的逆矩阵记作A−1，看起来比较相似，很容易搞混。

我们之前证明了AA∗=|A|I，当矩阵A的行列式|A|不等于0时，那么显然有：

根据我们之前逆矩阵的定义：

如果|A|=0怎么办？

行列式等于0的矩阵称为奇异矩阵，奇异矩阵没有逆矩阵。所以一个矩阵有逆矩阵的前提就是非奇异矩阵。

以上就是逆矩阵的推导过程和计算方法，当然在实际的应用当中，我们并不需要如此麻烦。因为Python的numpy库当中已经为我们封装好了现成的计算工具，我们只需要直接调用即可，使用方法和之前的计算行列式基本一样：

通过调用np.linalg.inv方法来得到逆矩阵：

需要注意的是，如果a是一个奇异矩阵，那么计算逆矩阵时会报错。所以我们在此之前，需要先计算矩阵的行列式，判断是否是奇异矩阵。不清楚行列式计算方法的同学，可以回顾一下上一篇文章。

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参考资料
线性代数第五版（上海交大出版社）