讲透初中几何“将军饮马模型”：必须掌握的中考常考题型

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　　作为初中几何中的一个非常重要的常见模型——将军饮马模型是中考常规题和压轴题都会考察的一个重要题型，学生必须做到熟练掌握。为提高学习效率，我做了一个非常全面的总结分析，以帮助学生彻底理解该题型蕴含的数学思维。

　　首先我们来看一个例子。大家自己先思考一下，看看能否做出来?

　　例1. 在直角△ABC中，角C=90°，AC=BC=根号2 ，E、F分别为AC、BC上的一个动点，且AE=CF，连接BE、AF，求BE+AF的最小值?

（图1）

　　上例是将军饮马模型的一个典型例子。各位有没有具体的思路?下面我详细介绍一下将军饮马的各种模型，之后解题思路就会逐步清晰。

　　一、 将军饮马的由来：古罗马时期，亚历山大城有一个名叫“海伦”的将军，他比较喜欢数学。有一次，他要从营地A去往营地B，但中途要让他的马儿去河边饮一次水。AB营地均位于河流的同侧，将军就思索在河流的哪个地点饮水，才使得从营地A去营地B的路程最短。

　　二、 原理：1、两点之间直线段最短;2、三角形中两边之和大于第三边;3、三角形中两边只差小于第三边。

　　三、 将军饮马的模型分类

　　1、 直线型——两个线段之和的最小值：

　　如下图，在直线上找到一点P，使得直线外的两个定点A和B到直线的距离最短。并求出PA+PB的最小值?

　　图1中，A和B在直线同侧，做B的关于直线L的对称点B′，连接A B′交于直线L于P点。最短距离就是A B′的距离。

　　图2中，A和B在直线异侧，直接连接A，B，与直线L相交于P点。最短距离就是AB的距离。

　　2、 直线型——两个线段之差的最大值和最小值：

　　如下图3，做AB的延长线交于直线L于P点。则有PA-PB的最大值等于AB。做AB的中垂线交于直线L于P′，可知PA-PB的最小值为0。

　　如下图4，做B点关于直线L的对称点B′，A B′的延长线交于直线L于P点。则有PA-PB=PA-P B′，其最大值等于AB。做A B′的中垂线交于直线L于P′，可知PA-PB=PA-P B′，其最小值为0。

　　3、 直线型——上面模型的变形

　　如下图5中，从A到B点，但必须在直线L上走h的路程也就是MN=h。根据题意要求找出M和N点，使得AM+MN+NB的和最小。

　　解：作B关于直线L的对称点B′，把A点向右平移h个单位到A′。连接A′B′交于直线L于N点，向左平移h个单位，找到M点。则有AM+MN+NB的和最小值=AM+MN+N B′=h+ A′B′即为所求答案。

　　如下图6，从A到B点，但必须过一个宽度为h的桥梁。在什么位置设置路程最短?

　　解：把A点向下平移h个单位到A′，连接 B A′交直线L2于N点，向上平移h个单位，交L1于M点。M点到N点即为所求的桥梁的位置。

　　4、 夹角型——线段和或者多边形周长的最小值

　　如下图7中，已知射线OA和OB上分别有动点M和动点N，夹角内有一个固定点P，求PM+MN的最小值?

　　解：作P点关于直线OA的对称点P′，过P′作直线OB的垂线分别交于OA,OB于M,N点，则有PM+MN的最小值=N P′。

　　如下图8中，已知射线OA和OB上分别有动点M和动点N，夹角内有一个固定点P，求三角形PMN的周长最小值?

　　解：过P点分别做OA,OB的对称点P1,P2，连接P1P2两点分别交于OA,OB与M,N点，则有PM+MN+NP的最小值等于P1P2两点之间的距离。

　　如下图9，，已知射线OA和OB上分别有动点M和动点N，夹角内有2个固定点P和Q，求四边形PMNQ的周长最小值?

　　解：作P点关于直线OA的对称点P′，过Q点作直线OB对称点Q′，连接P′Q′分别交于OA,OB于M,N点。则有四边形PMNQ的周长=PM+MN+NQ+PQ的最小值= P′Q′+PQ。

　　如下图10，已知射线OA和OB上分别有定点P和Q，分别有动点M,N。求PN+NM+MQ的最小值?

　　解：作P点关于直线OB的对称点P′，过Q点作直线OA的对称点Q′，连接P′Q′分别交于OA,OB于M,N点。则有PN+NM+MQ的最小值= P′Q′两点之间的距离。

　　四、 再来回顾文章开篇的那个压轴题。

　　其实该题也是将军饮马题型的应用，必须熟练掌握其规律性，想方设法把相交的两个线段转化成相连的2个线段，则问题迎刃而解。需要解题思路的关注后私信我。

　　再给个例2：在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，若点M,N分别是线段AC,AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少?（彻底理解将军饮马的几个类型后，一眼就能看出答案？）