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一：不同的人如何看待向量

向量的概念我们再熟悉不过了，他们在不同人眼中是不一样的

学物理的人认为，向量是空间里面的箭头，决定一个向量的是它的方向和长度，如果两个向量这两个特征相同，那么你可以在空间中任意移动

• 二维向量
• 三维向量

学计算机的人认为，向量是有序的数字列表，试图通过一组数字（顺序不可颠倒）去描述（专业叫建模）描述某个对象

对于学数学的人，他们觉得向量可以是任何东西，只要保证两个向量相加以及数字与向量相乘是有意义的即可

可以看出为什么从数学的角度看，向量是相当抽象的，这也是为什么我们无法学好线性代数的本质原因，而且向量相加和数乘也贯穿了线性代数这门学科的始终、

二：坐标系中的向量表示

在线性代数中，我们的向量是一个以坐标原点为起点的箭头（下面的是二维直角坐标系，三维，更高维也是这样）

我们经常会见到线性代数中用\begin{pmatrix} -2\\ 3\end{pmatrix}(−23)这样的形式表示向量，这一对数表示了如何从原点（向量起点）到达尖端（向量终点）

• -2表示从原点开始沿着平行于X轴的负方向移动两个单位
• 3表示从上一位置开始沿着平行于Y轴的正方向移动两个单位

每一对数给出了唯一的一个向量，而每一个向量又恰好对应唯一一对数

当然我们处于三维世界，也是如此，会多一个z轴，这样的话每一向量就会与一个三元数组对应，比如\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3\end{pmatrix}⎝⎛​213​⎠⎞​

• 2表示从原点开始沿着平行于X轴的正方向移动两个单位
• 1表示从上一位置开始沿着平行于Y轴的正方向移动一个单位
• 3表示从上一位置开始沿着平行于Z轴的正方向移动三个单位

三：坐标系中向量加法和数乘

（1）相加

我们都很熟悉向量加法的规则：
\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}(12​)+\begin{pmatrix} 3\\ -1\end{pmatrix}(3−1​)=\begin{pmatrix} 4\\ 1\end{pmatrix}(41​)

但为什么要这样运算，很多人却解释不清楚，不过通过几何角度会非常容易理解。
首先\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}(12​)和\begin{pmatrix} 3\\ -1\end{pmatrix}(3−1​)这两个向量在坐标系中表示如下

向量加法相信大家高中就学习过了：移动第二个向量，使其起点移动到第一个向量的末尾，然后连线即可

向量加法为什么一定是这样呢？其实向量从某种方面来讲，揭示的是一种运动趋势，运动无非就是方向和距离嘛，所以大家可以看到最终向量的和就是最终的运动趋势。

这一点其实在我们初中学习数轴时就深有体会了，我们知道2+5=7，你可以理解为先移动2步，再移动5步

我们把这种观点运用到刚才的向量加法，两个向量相加最终得到了一个新的向量，它一共包括四步：先向右移动1步，再向上移动2步，再向右移动3步，再向下移动1步

所以这就是向量加法的本质

（2）数乘

2·\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}(12​)=\begin{pmatrix} 2\\ 4\end{pmatrix}(24​)就是向量的数乘运算

比如2\overline v2v就是表示把\overline vv正向延长为原来的2倍

\frac{1}{3} \overline v31​v就是表示把\overline vv正向缩短为原来的\frac{1}{3}31​

而-1.8\overline v−1.8v就是表示把\overline vv反向延长为原来的1.8倍

对于一个向量，对其进行延长2倍等于把它的每个分量都乘以2，也即
2·\begin{pmatrix} 1\\ 3\end{pmatrix}(13​)=\begin{pmatrix} 1×2\\ 3×2\end{pmatrix}(1×23×2​) =\begin{pmatrix} 2\\ 6\end{pmatrix}(26​)

到这里向量，就基本介绍完毕了，大家一定要深刻理解，线性代数本质就是向量，而向量既可以用箭头表示也可以用有序数组表示，这些花里胡哨的表示方式并不是为了好看，实际是为了方便我们用数字操控空间，用空间表示数字等等