线性代数之实对称矩阵得相似对角化问题的方法总结

对于一个实对称矩阵不仅可以通过一个可逆矩阵相似对角化,还可以通过一个正交矩阵来相似对角化。实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交,而且实对称

对于一个实对称矩阵不仅可以通过一个可逆矩阵相似对角化,还可以通过一个正交矩阵来相似对角化。实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交,而且实对称矩阵的特征值全为实数。在考研中,我们一定要重点掌握会求一个正交矩阵来相似对角化,这里的正交矩阵是矩阵的彼此正交且为单位向量的特征向量组成的,这里的对角矩阵是矩阵的特征值组成的。

实对称矩阵:元素都是实数的对称矩阵称为实对称矩阵。

实对称称矩阵的特征值、特征向量及相似对角化:

(1)实对称矩阵的特征值全部是实数;

(2)实对称矩阵的属于不同特征值对应的特征向量相互正交化;

(3)实对称矩阵必相似于对角矩阵。

求实对称矩阵矩阵正交相似于对角矩阵的步骤:

线性代数之实对称矩阵得相似对角化问题的方法总结

求实对称矩阵正交相似于对角矩阵的步骤

题型一:实对称矩阵的正交相似对角矩阵

例1:

线性代数之实对称矩阵得相似对角化问题的方法总结

解题思路:(1)非齐次线性方程组有无穷多个解的充要条件为矩阵A的秩等于增广矩阵的秩且小于3.

(2)利用求实对称矩阵相似对角矩阵的方法求解

解:

线性代数之实对称矩阵得相似对角化问题的方法总结

题型二:相似对角矩阵的应用

例2:设A是n阶矩阵,有特征值1,2,3,….,n,求|3E+A|

分析:可以利用特征值和行列式的性质的计算。

解:

线性代数之实对称矩阵得相似对角化问题的方法总结

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