函数的四则运算求导法则

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导数作为微积分的核心概念之一，是研究函数变化率的重要工具。

通过导数，我们可以求解函数的极值、单调区间等重要性质。

而对于初等函数，它们的求导方法并不复杂，掌握好四则运算求导法则，就能轻松地求解函数的导数。

一、四则运算求导法则

1. 加法求导法则：(u+v)’=u’+v’

2. 减法求导法则：(u-v)’=u’-v’

3. 乘法求导法则：(uv)’=u’v+uv’

4. 除法求导法则：(u/v)’=(u’v-uv’)/v²

导数的公式及四则运算

二、导数的计算方法

1. 直接求导法：对于函数f(x)，如果f'(x)存在，则直接计算f'(x)。

2. 复合函数求导法：对于复合函数f[g(x)]，先分解成基本函数f和g，然后分别求导再相乘。

3. 隐函数求导法：对于形如y=f(x)的隐函数，通过等式两边同时求导来求解。

4. 参数方程求导法：对于参数方程x=g(t)，y=h(t)，先消去参数t，得到x和y的函数关系，再通过x和y的函数关系求导。

三、例题解析

例1：求函数f(x)=x³+2x²-3x-1的导数。
解：根据复合函数求导法，f'(x)=(x³)’+(2x²)’-(3x)’-1’=(3x²+4x-3)

例2：已知函数f(x)=cos²x-sin²x，求f'(x)。
解：根据乘法求导法则，f'(x)=(cos²x)’-(sin²x)’=(2cosxcosx)’-(2sinxcosx)’=(-2sin²x+2cos²x)

例3：已知函数f(x)=sin(2x+π/4)，求f'(x)。
解：根据隐函数求导法，等式两边同时对x求导得：f'(x)=cos(2x+π/4)×(2x+π/4)’=2cos(2x+π/4)

例4：已知函数f(t)=3t²+2(a-1)t+b，t∈[0,1]，求f'(1/2)。
解：根据参数方程求导法，先消去参数t得到f(x)的表达式，再对x求导得：f'(x)=6x+2(a-1)，然后将x=1/2代入即可求解。