初中几何（5）直线和圆的位置关系及切线性质

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作者并非老师，在辅导孩子数学的这几年中，感觉到现在的数学教学都是切片式的，每个年级讲一点，时间跨度很大，孩子在学习过程中死记硬背，对其原理理解并不透彻。而初中的数学基本功对高中阶段的学习非常重要。所以打算自己来写一些教程，有别于教科书和参考书那样，仅仅是对知识点的罗列，会对每个知识点进行详细的说明，并给出证明过程（这点学校在教学过程中比较缺失）。希望能帮助同学们更好地融会贯通。

与点和圆的位置关系一样，直线与圆的位置关系也是三种：

1. 相交，与圆有两个交点，叫做割线，⇔ 直线l1与圆的距离d1 < r
2. 相切，与圆有一个交点，叫做切线，⇔ 直线l2与圆的距离d2 = r
3. 相离，与圆没有交点，⇔ 直线l3与圆的距离d3 > r

对于第1，第2点，可以使用直角三角形的性质来证明，同学们可以自己想一下。

总的来说，直线与圆的位置关系可以通过以下两个方式来判断：

1. 直线与圆相交点数
2. 直线与圆的距离与圆半径的大小

割线我们会在后续章节（圆的弦和弧）来讨论，这里重点阐述切线的性质。

在这里，同学们是第一次接触到切线，会觉得很简单，其实切线的意义远不止于此，它是通往更上一层数学知识的台阶。到了高中阶段，同学们会发现数学的难度陡然直升，各种艰难、深奥的概念都会呈现在同学们的面前，想要学好高中数学，对初中数学知识掌握程度起到了非常关键的作用。

（在本系列内容中，我们不会去探讨相对深奥的知识点，而是以基本知识点为主，希望同学们能够彻底、扎实地掌握好。）

切线的判定定理：

1. 根据基本定义，直线与圆只有一个交点，该直线为该圆的切线。

（这个判定方法很多同学容易忘记，在一些几何题中，我们可以使用解析几何的方式，构造两个方程：直线方程和圆方程，当它们只有一个解时，则直线与圆相切）

1. 圆心到直线的距离等于半径，该直线是圆的切线。

证明如下：

∵ 圆心O到直线l的距离（OA）等于半径，OA=r

∴ 所以A在圆O上

∵ 点O到直线l的垂足（垂线与直线的交点）有且只有一个，即为点A

∴ 直线l与圆O只有一个交点

∴ 直线l是圆O的切线

证明完毕

1. 经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线

半径的外端就是值半径在圆上的这点，如上图半径OA，A就是半径的外端。以上这句话可以理解成：直线l与圆的半径OA垂直，OA⊥l，且垂足是A点，则，直线l是圆的切线。

证明如下：

使用反正法。（在下一节相信介绍一下反证法）。

假设直线l与圆相交于A点，但又不是圆O的切线。那么直线l与圆O还有一个交点B（参考前面“直线与圆的三种位置关系”），点A和点B都在圆上，则OA=OB，

∵ OA⊥l，在直角三角形ΔOAB中，OA和AB都是直角边，

∴ 斜边OB>OA，这与假设条件推导出的结论OA=OB矛盾。

∴ 直线l是圆O的切线。

证明完毕。

切线性质：圆的切线垂直与经过切点的半径。

这个切线性质与切线判定是互逆的。

以上可以理解成：直线l是圆O的切线，A为切点，则OA⊥l

证明如下：

使用反证法，如果OA不垂直直线l，则可以经过O点作直线l的垂线，垂足为点B，连接OB，则有直角三角形ΔOBA，OB和AB为直角边，OA为斜边，则OB<OA，∵OA为圆O半径，∴B在圆O内，

又 ∵ 点A，B都在直线l上，则直线l与圆必然有两个交点，与原命题给出的条件直线l是圆的O的切线（只有一个交点）相矛盾。

∴ 假设不成立，可得OA⊥l

证明完毕。

切线长和切线长定理

切线长的定义：

在经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段叫做这点到圆的切线长。

经过圆O外一点A有两条切线，与圆O交B，C两点，AB和AC都是A点到圆O的切线长。切线长就是线段长。

以上很容易理解，但我们想过没有，为什么圆外A点到圆O必然会有两条切线？

在前面的章节（圆周角和圆心角）中，我们了解到圆是旋转对称图形，而圆还是轴对称图形。

轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。直线叫做对称轴。

圆的对称轴是圆的直径，圆有无数条对称轴。

在上图中，连接AO的直线经过圆的直径EF。（注意：圆的直径是线段，不是直线。）切点B在直径的一侧，因对称性质，必然在另一侧有对称点C，B为切点，C也为切点，所以圆外一点到圆有两条切线。

切线长定理：

1. 从圆外一点A作圆O的两条切线，它们的切线长相等，AB=AC。

证明如下：

∵ B、C为直线AB、AC与圆O的切点，连接OB和OC，根据切线性质，OB⊥AB，OC⊥AC，构成两个直角三角形ΔABO与ΔACO，

∵ B，C在圆上

∴ BO=CO，且AO为两个直角三角形公共边

∴ 根据勾股定理可得，AB=AC

证明完毕

1. 从圆外一点A作圆O的两条切线，点A与圆心O的直线平分两条切线的夹角，∠BAO=∠CAO。

证明如下：

可以沿用上一个的方式来证明：ΔABO≌ΔACO

∴ ∠BAO=∠CAO

证明完毕