圆幂根轴之十四

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上一篇写了2016年沙雷金几何奥林匹克决赛10年级第8题，需要证明三圆根心在某条直线上。下面再看一个类似的问题：

例1✨ 已知：△ABC三个旁切圆分别为圆A’,B’,C’,I、G为△ABC内心、重心。

求证：圆A’,B’,C’根心在IG上。

思路分析：

要证明三圆根心在某直线上，基本思路就是做出根心，挖掘根心的隐藏性质，然后给出证明。先考虑两圆根轴，不妨看圆B’,C’根轴，必然垂直B’C’,还需要一个条件。看到BC为两圆公切线，从而做出公切线中点A’’,由切线长相等发现A’’也为BC中点。类似做出另外两边中点，则根心为其内心，由位似即得。

证明：

取BC,CA,AB中点A’’,B’’,C’’,

令P为A”B”C”内心，BC切圆B’,C’于W,X。

则BW=0.5(AB+BC+CA)=CX,

则A”W=A”X,

则A”在圆B’、C’根轴上.

显然△A”B”C”与△ABC位似，

则A”P//AI且PGI共线，

故A”P为圆B’、C’根轴。

由对称性知P为三圆根心。

从而三圆根心在GI上，且IG=2GP.

评析：

1）本题初看恐怖，发现了中点后就很好入手了。一般的，一个三角形的三个中点构成的三角形的内心P称为△ABC的斯稗克（Spieker）点。它有不少有趣的性质。最基本的性质就是PGI共线且IG=2PG。当然，本题也可以通过发现根心P的上述性质，猜测出根心为斯稗克点。进而诱导出上述证明思路。

2）可以证明△ABC的纳格(Nagel)点Na（即三角形顶点与对应旁切圆切点的连线三线共点）也在直线IGP上，而且IG=GNa,这非常类似于欧拉线，有兴趣的读者可以自行探讨。

例2 ✨ 如 图 在锐角△ABC中，D、E分 别 为 边 AB、AC的 中 点，△ADE 的 外 接 圆 与 △BCD ,△BCE 的外 接圆交于点D、G，E、F。

证 明：AF=AG（2014CGMO）

思路1：

有三个圆，做出根心合情合理，然后只要发现圆ADE和圆ABC相切，从而得到相似，又由中线得对应角相等即可。

证明1：

显然圆O和圆ADE位似，

由根心定理知过A的圆O的切线，FE,DG,BC共点于I，

则△IAC∼△IBA,且D,E为相似对应点，

则∠ADI=∠CEI,

故∠AFG=∠ADI=∠CEI=∠AEF=∠AGF,

思路2：

设ABC外心为O，AO交BC于I，倒角易得OICG,FBLO共圆，倒角即得BF,CG交点M在圆AEF上，从而MBC为等腰三角形，即得结果。

证明2：

设ABC外心为O，AO交BC于I，

则ADOE共圆。

∠GCB=∠ADG=∠AOG,

∴OICG共圆，

同理FBLO共圆,

∴∠OGM=∠OIC=∠OFB,

则MFOG共圆。

则AM⊥MO,

∠AMG=∠AOG=∠MCB,

∴AM//CB,

则MB=MC,

∠FMO=∠GMO

∴OG=OF.

评析：

上述证法1利用根心和相似对应，一气呵成。证法2从内部入手，发现两组共圆，然后得到等腰，从而完成证明。两种证法平分秋色、各有千秋。

例3 ✨ 如图，ABCD是圆内接四边形．AC与BD的交点为P，E是弧AB上一点，连接EP并延长交DC于点F，点GH分别在CE，DE的延长线上，满足∠EAG=∠FAD，∠EBH=∠FBC，

求证：CDGH四点共圆． （2008年高中数学联赛B卷）

思路分析：

欲证四点共圆，基本思路就是要么倒角，要么倒线段比例。不难发现本题中角度不易处理，只能考虑倒比例。从而需证EG*EC=ED*EH。由共圆得∠GEA=∠ADC，又∠EAG=∠FAD，故∠EGA=∠AFD，

从而得到GAFC四点共圆,对称的有HDFB四点共圆。至此倒不是那困难。下面难在如何使用点P上。只要想到根轴，就能发现FP即为上述两个圆的根轴，从而即可完成证明。具体证明如下：

证明：

依题意∠AFD=∠G,

∴AFCG共圆于C2,

同理BFDH共圆于C3,

设圆ABCD为C1。

则BD为C1,C3根轴,

AC为C1,C2根轴,

由根心定理知P为

C1,C2,C3的根心。

则FP为C2,C3的根轴，

则E对C2,C3等幂，

故GE*EC=HE*ED,

即GHCD共圆。

注：

此题如果想不到根轴，还是挺不好处理的。

例4 ✨ 如图，设圆O.O’交于点X、Y．过圆心O的直线交圆O’于点P、Q，过圆心O’的直线交O’于点R、S．

证明：若P、S、Q、R四点共圆，则该圆的圆心在直线XY上．（2009年美国数学奥林匹克题）

思路分析：

由根心定理容易得到XY,PQ,RS三线共点于J。设PSQR圆心为I，则OI⊥RS,对称的O’I⊥PQ,又OO’⊥XY，可以得到J为△OO’I垂心。从而OO’⊥IJ,故IXY共线。

证明：

设PQ,RS交于J,由根心定理知J在XY上，

设PSQR圆心为I，

则OI⊥RS,O’I⊥PQ,OO’⊥XY

故J为△OO’I垂心，

故IJ⊥OO’,

故I在XY上。