世界的本质关联:从0到1、从量变到质变、幂次法则、还有信息论

世界的本质关联:从0到1、从量变到质变、幂次法则、还有信息论迭代版本:251本文,将会从三个递进的层面和视角,一步步去发掘世界背后的运作规律、及其本质关联。首先,探讨从0到1与从量变到质变的意义与内涵;接着,结合幂次法则去解读世界的本质发展规律;最后,则会上升到信息论的视角,去看待万物的关联性。

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世界的本质关联:从0到1、从量变到质变、幂次法则、还有信息论

迭代版本:251

本文,将会从三个递进的层面和视角,一步步去发掘世界背后的运作规律、及其本质关联。

首先,探讨从0到1从量变到质变的意义与内涵;接着,结合幂次法则去解读世界的本质发展规律;最后,则会上升到信息论的视角,去看待万物的关联性。

通过本文,或许我们能够发现,这个世界包括宇宙万物,其根本性的发展规律和路径——这或者可以说是在某个视角下的——第一原理

第一原理(First Principle)——是一个最基本的命题或假设,不能被省略或删除,也不能被违反,相当于是在数学中的公理。而在物理中,是指从头计算,不需要任何参数,只需要一些基本的物理常量,就可以得到体系基态的基本性质。

主题目录如下:

  • 从0到1与从1到N
  • 从0到0
  • 从量变到质变
  • 幂次函数与指数函数
  • 神奇的幂次法则
  • 幂次量变与指数质变
  • 幂次法则统治世界
  • 非线性变化
  • 信息论就是答案
  • 结语
  • 后记1:是的,就是循环
  • 后记2:痕迹与自由
  • 后记3:长尾理论与二八定律
  • 后记4:素数与质变
  • 后记5:预期寿命与概率分布
  • 后记6:从数学角度看幂次法则
  • 后记7:复杂性涌现与层级封装
  • 后记8:对数视角看幂律世界
  • 后记9:从幂律到正态的熵增
  • 后记10:非线性的边际

从0到1与从1到N

很明显,从0到1是——质变(从无到有),从1到N是——量变(从有到多)。其中质变——是性质的改变,代表着翻天覆地的本质变化;而量变——是数量的改变,代表着性质不变的数量叠加。

这里要引出一个概念叫作——“质变点”,它是从量变到质变的阈值,阈值越高质变所需要的量变就越多,而从0到1就是发生在质变点上的。

那么,通过量变的积累,就有可能抵达质变的结果,但这个过程是不确定的——就比如,有时候我们积累了很多的量变,但结果只是数量的叠加,始终也不见颠覆性的质变出现。

而这种不确定性,就呈现出了一些现象和规律,如:

  • 努力是量变,努力不一定能成功,但是成功是质变,成功一定需要努力。
  • 行动是量变,行动不一定有结果,但有结果是质变,结果一定需要行动。

从0到0

有了从0到1,就可以从1到N,是一个很自然的逻辑,并且可以想象:从0到1是要比从1到N,要困难得多的——甚至可以说,难度不在一个数量级上。

例如,白手起家与继承家业,前者是从0到1,后者是从1到N。

然而在现实中,让人意想不到的是,在从0到1之前,还有一段路要走——那就是从0到0

有时候,我们很努力,花了很多时间和精力,去计划一件事情、去做一件事情、去追求一件事情、去完成一件事件,但是结果却是收效甚微——这其中原因就在于,没有抵达质变点,所以就没有明显的效果。

事实上,我们的努力,都是在积累0,在没有遇到1之前,所有的努力就都是0,所有的价值也几乎等于0。

虽然努力,一定有其价值(包括失败的努力),但在没有获得1之前,所有的努力都是没有办法量化的(即无法计算其效用),因此我们也不知道努力与结果之间,究竟是什么样的关系——相关或不相关、 促成或阻碍。

所以,只要还没有获得那个1,一切努力的价值,就都是未知的不确定——或可以说,在获得1之前,一切都是0,例如:

  • 学英语,在进行了大量背诵之后,仍然无法轻松流畅地阅读;
  • 学写作,在进行了大量叙事之后,仍然无法写出满意的文章;
  • 学绘画,在进行了大量素描之后,仍然无法画出预想的作品;
  • 学编程,在进行了大量实现之后,仍然无法得心应手地抽象。

这就是从0到0,即在遇到1之前,无论做了多少努力都是微不足道的0,直到1的到来——但天知道1什么时候才会来,或是回不回来,而这就是从0到1的必经之路

那么,从0到1的特别之处,就在于:其过程并不是线性的量变——逐渐逼近结果,而是一种厚积薄发的非线性的质变——突然逼近结果。

因此,一旦获得了那个“1”,就会发现——英语找到母语感知、写作犹如上帝执手、绘画开启神来之笔、编程进入图灵模式——通常人们会说,这是突破了某个瓶颈,接着后面的每一步都更加容易,成长会进入到快速进展的阶段,犹如青春期的发育,仿佛一夜之间就变得和从前不一样了,似乎获得了不可思议的力量。

此时,再回想从前,一切都是值得的,所有艰苦的过程和历经的磨难,仿佛都突然变成了时间所能兑换的奖励——并且过程越痛苦,成果就越美妙——这让过程成为最大的奖励,如同旅途就是回报。

甚至可以说,如果“0”是看不见的信息积累,那么“1”就是看得见的信息结构——这就如同物理上的真空(即0),可以演变成虚场(即1)。

不过,需要注意的是:在某些情况下,无论进行多少量变积累,也一定无法得到质变结果,即:无限量变等于质变。

  • 例如,出现了原理性规律性的底层错误
  • 例如,选择了一条“弯路”,质变需要的量变,超过了一个人所能提供的极限。
  • 例如,所处的时代,无法提供必要的条件,即历史进程并不准许。

从量变到质变

事实上,量变与质变相比,是极其微不足道的,因为质变是可以抵过所有量变总和的,但量变又是质变不可或缺的过程,这解释了很多实践之理经验之谈,例如:

  • 为什么失败,只会出现在彻底放弃之时?
  • 为什么失败,是逼近成功的脚步?
  • 为什么在快要放弃的时候,只要再坚持一下往往就是成功?
  • 为什么有时候付出看不到回报,努力得不到收获?
  • 为什么成功和失败如此接近,却又相差得十万八千里?

以上等等,都只需要再来一点量变,就有可能会产生质变,但如果选择放弃,就会彻底失去质变的机会,而质变就是翻天覆地的变化,可以抵消过去所有的失败——因此成败,有时真的就在一念之差。

由此可见,失败就像是0,成功就像是1,从0到1——就像是从量变到质变的过程。而这个过程,就像齿轮——在惯性系中,最大的阻力会出现在最开始(即从0开始),但惯性(就像培养习惯与刻意练习)将会成就巅峰(即到1的质变)。

只不过,还需要多少量变,还需要坚持多久,还需要其它什么条件或因素,才能达成质变,我们并不知道,也很难知道。

但有一点是明确的:就是在0和1之间,隔着无数的000……000……还是000……,如果没有1,再多的0还是0,只有有了1,串联起积累的000,才能有一次质变。

由此可见,1就站在质变点,似乎在向你微笑招手,并念着咒语:

  • 它把所有艰辛的0,变成意义非凡;
  • 它把微不可见的0,变成锋芒毕露;
  • 它把万念俱灰的0,变成灿烂希望;
  • 它把血溅山谷的0,变成小鹿溪水;

最终,它可以把一切都看清晰,把拼图还原成一幅愿景,接着把你送到另外一个地方、一个阶段、一个层级、一个境界——以及另外一个世界、一个宇宙、一个未来、一个时空。

那么,眼前的颅内模拟——全是“000000”,请问它——“1”,在哪里呢?

事实上,量变与质变,还与我们的视角息息相关。

例如,我们看微观局部,往往看到的是量变,看宏观整体,往往看到的是质变——但量变与质变是那么的不同,会让我们根本搞不清楚,从微观到宏观,从局部到整体,是如何演变和发展的。

就像,微软创始人——比尔·盖茨,曾说过:“人们总是高估了自己一年后能做的事情,却又低估了自己十年后能做的事情。” ——这就是因为“一年”往往并不能产生质变,但“十年”却又可以产生多次质变

类似的,人们也总是高估了自己的能力,却又低估了自己的潜力——这是因为能力是现在拥有的,而潜力是未来拥有的,两者之间间隔的就是若干次的质变

可见,我们的认知偏好总是会——高估量变的速度,又低估质变的结果。

那么,以上情况的共同点就在于:前半部分是自我认知偏差,即通常人们会高估自己却低估别人,而后半部分是质变带来的信息鸿沟,这会让人脑在线性思维下的推理与预测——变得脆弱不堪又形容虚设,堪比随机骰子。

换言之,由于量变引起质变,所以对细节局部的逐一了解,并不能对整体完全的把握——除非你能把所有的量变,在脑海中汇聚成质变

而股神投资家——沃伦·巴菲特的投资理念之一,即:坚持长期投注而非短期赌注——可以想象其中的原理,也就在于长期回报是经过质变的结果,其收益会远远超过预期。

换言之,价值投资的回报就是来自“价值质变”

最后,需要再次强调的是——质变是可以抵过所有量变总和的,让我们用一个极端的例子,来说明质变的力量,即:

  • 一个坏人一直做坏事,但做了一件“质变级”的好事——比如拯救了100万人,结果这个坏人就可以“质变”为好人。
  • 一个好人一直做好事,但做了一件“质变级”的坏事——比如毁灭了100万人,结果这个好人就可以“质变”为坏人。

幂次函数与指数函数

在讨论幂次法则量变质变之间的关系之前,我们需要了解一下幂次函数指数函数

首先,解释一下这个“幂”字,在中文里它是指“遮盖巾”的意思。

而在数学里,乘方的表达式,就是指数写在底数的头上,这如同遮盖了一个头巾一般,所以“幂”——就是指乘方运算的结果。

例如,2的N次方,即N个2乘方运算的结果,也称为2的N次幂,或2的幂次方。

那么,幂数——就是结果的那个数字,也就是,同时也被称为——幂次,或幂次方

因此,在英文中——幂、幂数、幂次、幂次方,都被称为——Power,即:代表巨大的力量或权力,显然这是乘方运算带来的效果。

在此,我们可以看到,的最终数值,其实取决于两个数,即:底数指数——而这对应了两种变化,即:底数变化指数变化

对于底数变化,需要指数不变,如:1的2次方(1^2 ),2的2次方(2^2 ),3的2次方(3^2 )等等——其形式是f(x) = x^n,x是变量,n是常数(如2)——而这样的函数,就被称为——幂次函数,或幂函数

例如,正方形面积的变化,是函数x^2中边长x决定的。

对于指数函数,需要指数变化,如:2的1次方(2^1 ),2的2次方(2^2 ),2的3次方(2^3 )等等——其形式是f(x) = n^x,x是变量,n是常数——而这样的函数,就被称为——指数函数

例如,计算机内存容量的变化,是函数2^x中比特位x决定的。

那么,幂次函数对应的增长就是——幂次增长指数函数对应的增长就是——指数增长,两者的关系在于:当自变量(底数与指数)很小的时候,幂次增长快于指数增长,但随着自变量不断增加,指数增长会远远超越幂次增长,并呈现出“爆炸性”的膨胀。

例如,幂次函数x^2与指数函数2^x,对比来看:

  • 当x = -1时,是1对0.5,
  • 当x = 2时,两者相等,
  • 当x = 10时,是100对1024,
  • 当x = 20时,是400对1,048,576。

显然,由于指数增长这种“爆炸性”,在现实中它并不能维持很长时间(如复利效应,就是一种指数增长),否则就会消耗掉难以想象的资源,相反幂次增长,则就可以维持更长的时间。

而在统计学中,有两种统计概率的分布现象,就是由带系数的幂次函数指数函数来表示的,它们被称为——幂律分布(Power Law Distribution)与指数分布(Exponential Distribution)。

  • 幂律分布公式:P(x) = cx^(-a),c和a是常量(c > 0,a > 0)。
  • 指数分布公式:P(x) = e^(-λx),e和λ是常量(λ > 0 代表单位时间内事件发生概率)。

这两种分布图像的对比,如下(蓝色幂律分布,红色指数分布):

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蓝色幂律分布,红色指数分布,图片来自The Fundamentals of Heavy Tails(2013-SIGMETRICS-heavytails.pdf)

由上图,我们可以看出:

  • 幂律分布的概率,在开始阶段高于指数分布。
  • 幂律分布的概率,其衰减速度快于指数分布。
  • 幂律分布的概率,在最后阶段高于指数分布。

可见,总体上相比指数分布,幂律分布衰减速度更快,但有更高的头部与更长的尾部——这正是说明了,幂律分布非常的不平均。

另外,还有一个隐藏的不同之处,就是幂律分布具有——标度不变性(Scale Invariance),或称规模缩放不变性,即:不同的幂律函数只是不同系数的标度缩放,其函数图像具有相似不变性,也就是说幂律分布具有分形特性

那么在数学上,分形图形的基本特征,就是具有标度不变性,即:在不同的尺度下,分形图形具有自相似性,这是一种尺度上的对称性——这表明,分形图形具有与尺度无关的几何特性,即几何参数的不变性。

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分形图形的自相似性,图片来自维基百科(Self-similarity)

因此,在双对数坐标下,幂律分布是直线(负斜率)——具有缩放自相似性,而指数分布是曲线——没有缩放自相似性。

双对数坐标——指的是两个坐标轴的单位长度,都是经过对数计算后的平面坐标系,这意味着纵轴和横轴上刻度的增长倍数都是10。

神奇的幂次法则

幂次法则(Power Law)——是指事物的发展,其规模(如数量、大小、程度、频率等)与排名呈现幂次反比(幂次指常数次幂,如x^-1),也被称为“幂律”

  • 换言之,规模越小排名越高,规模越大排名越低;
  • 或者说,决定性的大事件罕见,不重要的小事件众多;
  • 或者说,改变世界的天才罕见,被世界改变的平庸众多;
  • 或者说,高光时刻罕见,无聊时光众多;

以上等等,其内核就是——罕见的重要性广泛的平凡性

例如,规模x是人数,排名P(x)是财富,接着幂律分布函数选取P(x) = 100x^-2(c = 100,a = 2),那么就能得出如下的,人数财富分布:

  • P(1) = 100——人数规模是1,财富是100;
  • P(5) = 4——人数规模是5,财富是4;
  • P(10) = 1——人数规模是10,财富是1。

可见,大多数人获得少量财富,少数人获得大量财富,这就是二八定律的体现。

齐夫定律、幂律、帕累托定律之间的关系,参看:Zipf, Power-law, Pareto – a ranking tutorial

是的,幂次法则——指的就是幂律分布所呈现的结果,除了二八定律,与之相似的说法还有很多,如:长尾理论、马太效应、偏好依附、反馈增强、赢家通吃,等等。

这些在不同领域,不同的说法,体现的都是幂次法则,只不过它们的幂律系数不同,而它们都会呈现出,如下所示的幂律图像——具有长尾(Long Tail)、重尾(Heavy Tail)。

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绿色是短头部,黄色是长尾部,图片来自维基百科(Power_law)

那么,在这个图像(头部罕见,尾部众多、快速衰减)的背后,对应到现实世界的运作,其实就是——幂次变化,即:两个变量之间,呈现幂次比例关系。

幂次变化——就是指数不变,底数变化,如:x^2,x^-1,x取随机变量,指数为正就是正比例变化,指数为负就是反比例变化。注意:墨菲定律、复利效应、摩尔定律等——是指数变化。

事实上,根据经验和统计研究发现,幂律分布在我们的世界中是广泛且无所不在的,如:地震火山喷发规模、计算机文件大小、网页点击次数、论文及引用数、语言单词频率、人名姓氏使用、演化分支数量、神经活动规模、网络粉丝数、评论点赞数、文明强弱、月坑直径大小、行星间碎片大小、暗物质与暗能量占比,以及等等。

显然,幂律分布都体现了“强者越强,弱者越弱,中庸难存”,即:赢家通吃的局面——而这就是幂次变化带来的非线性效果。

在此,需要特别指出的是:幂律由于存在分形特性,因此所有的幂律分布都是“嵌套”存在的。

例如,在二八定律中,20%的人掌握了80%的财富,那在这20%里仍然是20%对80%,即:4%的人掌握了64%(即20% * 20%与80% * 80%),0.8%的人掌握了51.2%(即4% * 20% 与64% * 80%)等等,以此类推。

而硅谷著名投资人——彼得·蒂尔,在《从0到1》中有这样一句,极具创造力的断言,即:

“幂次法则,是宇宙的法则,是宇宙最强大的力量。”——为其背书的是,幂律分布在物理世界的底层运作。

再从数学角度来看,之所以幂次法则的名字是——“Power Law”,就是因为指数方程描述的,是最不平均的分配——如核能中的链式反应,就是用指数方程推演的力量。

可以说,这个“法则”本身,就像“从0到1”一样,有着质变的——顿悟性与启发性。

那么,把幂次法则上升到宇宙的本质层面,这个视角有什么重要意义呢?

在探讨这个视角之前,让我们先结合前文的量变质变,来看一下指数变化幂次变化之间的关系。

幂次量变与指数质变

从量变到质变,就是从0到1,中间隔着的就是——积累,而质变是可以抵过所有量变总和的

那么深入思考,我们就会有两个疑问,即:量变积累是如何抵达质变的?以及质变为什么会超越所有的量变之和的?

这就是,幂次变化质变变化登场的时刻。

首先说结论,量变——就是幂次变化,质变——就是指数变化,即:幂次量变积累出指数质变

接下来,我们就用这个结论,来回答上面的两个疑问。

第一个问题,要搞清楚量变到质变的积累过程,需要回忆一下,幂次函数指数函数,它们的形式分别是:x^2与2^x(假定系数常量为2)。

那么,如前文所述,这两个函数的关系,有三个阶段,如下:

  • 第一阶段,在变量x较小的时候,幂次增长大于等于指数增长。
  • 第二阶段,在变量x超过某个临界值的时候,幂次增长小于指数增长,并逐渐拉开差距。
  • 第三阶段,在变量x越来越大的时候,指数增长出现“爆炸性”膨胀,幂次增长“望尘莫及”

由此可见,在第一阶段——我们很容易通过幂次量变,来抵达指数质变;在第二阶段,我们需要更多的幂次量变,才能抵达指数质变;而在第三阶段,无论多少幂次量变,都无法再获得指数质变

显然,从整体来看,我们会发现对于幂次增长——改变底数x是比较容易的,而对于指数增长——改变指数x是越来越困难的,直到变成不可能。

也正因为此,幂次增长就像是在量变,是我们可以一步步完成的积累,而量变积累抵达质变,其实就是幂次增长指数增长的——“交叉点”。

那么,随着不断地抵达质变,就会来到无论怎么积累量变,也无法抵达质变的时刻,这就是幂次增长远远被指数增长甩在了“身后”的原因——这时候只有通过切换幂次常数(如由x^2切换到x^6去追赶2^x),才能继续抵达指数增长,从而继续产生质变效应

而我们可以把——切换幂次常数,看成诸如:格局的跳变、圈子的转换、轨道的跃迁、领域的开辟、边界的突破、环境的巨变,等等。

总之,这是“赛道”的切换效应,其对应着突破“层级封装”的涌现现象——如:原子核就是一种(动力学)层级封装,而突破这个层级,就是核能的涌现。

于是,再结合从0到1从1到N来看:

  • 量变——就是底数从1到N的幂次变化。
  • 质变——就是指数从0到1的指数变化(即幂次常数的变化)。

第二个问题,说质变可以抵过所有的量变总和,其实就是说,指数增长是可以抵过所有幂次增长的总和。

显然,指数增长的“爆炸性”,从数学上就已经证明了这一点,即:每次指数级变化,都是对过去所有积累的“翻倍”,如2^2 = 4到2^3 = 8到2^4 = 16。

相比较,幂次增长,只是对过去积累的“非倍数”增量,如2 * 2 = 4到3 * 3 = 9到4 * 4 = 16,所以幂次增长量变——但需要注意的是,在开始阶段,我们总是很容易,通过幂次量变来抵达指数质变的。

不过,幂次增长的力量,在于其规模大小,因为从时间角度来看,单位时间的增长与当前的规模成正比,即:规模越大增长越快,且增长的时间固定不变。

例如,在x^2中x就是规模,那么从10到100,从100到1万,从1万到1亿,所用的时间是一样的。

然后,我们会发现,幂次量变积累所形成的结果——就是幂律分布。因为,如果量变积累是——幂次增长,那么积累完成度就是——系数除以幂次增长,而积累价值就是——系数除以积累完成度。

例如,量变积累是x^2,积累完成度是100 / x^2(系数为100),积累价值是100 / 完成度(系数为100)——可见,如果积累2,完成度就是25,完成价值是4;如果积累10,完成度就只有1,完成价值就是100。

另外,幂律分布具有分形的自相似性,也就是说,无论是在局部还是整体,都是幂律分布的结果,即:强者越强(短头),弱者越弱(长尾),中庸难存(衰减)。

那为什么会这样呢?——有三个方面的原因:

  • 第一,幂次量变不断积累出指数质变,所以“高段”就会与“后段”远远拉开差距,形成头部。
  • 第二,幂次量变在最初容易达成指数质变,所以“初段”不会绝迹,形成长尾。
  • 第三,幂次量变指数质变的难度不断增大,所以“中段”要么进入头部(拉开差距),要么进入尾部(被拉开差距)。

最后,需要注意的是,幂次变化指数变化,都是非线性的变化,幂次量变可以在一定条件下“捕获质变”,但会越来越难,直到如果不切换幂次常数,就再也无法获得质变

例如,获得了垄断,就是来到了幂律的“头部”,也是幂次增长的极限,此后就很难再获得指数质变了,除非切换“赛道”(即幂次常数),从而开启一个新“幂次地图”上的竞赛。

也就是说,指数级增长不可持续,否则某些重大的事件必须发生,即:切换赛道开启全新的幂次地图

幂次法则统治世界

现在,让我们回到幂次法则的洞见:它是宇宙的本质规律。

这个视角的意义,就在于——所有事物的发展,都是非线性的幂次量变——这里的重点是两个关键词,即:所有事物幂次量变

第一,所有的事物,都在积累自己的量变,无一例外。

显然,质变就是我们所期待的巨大变革,但质变很难获得,需要付出远超我们心理预期的努力——因为人类直觉对事物发展的计算,通常构建在正态分布线性反馈之上——这种现实与预期的错配与误差,也是让人们难于坚持创新天生障碍巨大困难所在。

正态分布(Normal Distribution)——又称“高斯分布”(Gaussian Distribution),其曲线呈钟型,即两头低、中间高、左右对称,因此人们又经常称之为“钟形曲线”

而在质变之前,事物的竞争总是处在零和博弈的,即此消彼长的资源争夺——这会让人们没有时间与机会,去思考与迭代,只能不断地跟着竞争对手,去做没创新的重复,即从1到N

那么相反,从0到1的质变,则会带来垄断——这是资源的总体增长,所有人都会在质变中获利,结果其实是某种程度上的共赢,而整个社会与文明,也会因此得到发展与推动。

事实上,加班延长工作时间,只是一种“低级压榨”——因为毫无效率与创造力,只是在堆叠重复的“数量”(即从1到N),并且在这个“数量”之中,必然会被塞入很多的“隐患”(即各个层面上的各种Bug)。

“高级压榨”,则是用最好状态下的精神力创造力,去创造激动人心的结果——从而产生从0到1的质变,这样的局面也会从零和博弈(你死我活),转变成正和博弈(整体共赢)。

可见,低级剥削是在分蛋糕,高级剥削是在创造蛋糕——人类共同的敌人是本能,而不是智能——与其用本能(欲望)去剥削智能(创造),不如用智能去战胜本能——要知道,正是本能欲望让人过分追逐利润,并极端无视他人利益。

另外,虽然垄断会带来缺少竞争(即缺少压力源)的弊端,但过度竞争的危害更大,因为广泛存在参考点依赖的心理偏差,会让竞争不再向着有利共赢的局面发展。

参考点依赖——是指决策依赖于多个选项的比较,有点“两权其害取其轻”的意味,但这个过程的结果是往往是错配,因为比较让我们失去了“独立的理性判断”。

例如,孔雀的尾巴和麋鹿的大角,都是过度繁衍竞争的产物,其结果不仅浪费能量还容易被捕食,可谓完全不利于个体及种群的生存,所以这是一种竞争失控或失调的过度表现。

顺便一提的是,垄断就是一家独大,而一个最大市场成为唯一的市场——这是幂次法则主导的赢家通吃的必然结局。

第二,幂次量变可以(在一定范围内)产生指数质变。

事实上,在没有抵达指数质变之前,你和前一个阶段的差别并不大,所有的隐性努力也似乎没什么没用,可一旦抵达了质变点,就是一次指数级别“陡峭曲线”的升级,即获得了指数增长

指数增长,带来的是超越之前所有量变积累之和的增长——这是令人激动不已又垂涎欲滴,并且还是改变世界历史进程等一切轨迹的——根本驱动力

那么,可以想象——在贫穷与财富之间,应该有一条基准线,即质变点。

  • 当物质生活,越过这一条基准线,创造力就会出现从0到1的质变——这会带来个人与社会循环共赢的局面,呈现的就是幂次法则的“头部”。
  • 当物质生活,低于这一条基准线,创造力就会被无限地抑制降低——这会带来个人与社会循环齐输的局面,呈现的就是幂次法则的“尾部”。

可见,只有越过了这条物质基准线的质变点,每个人的创造力才能有所发展,甚至不断地发展,人们才有更多的上升空间与发展机会。

第三,在物理上,质变就是相变,相变发生点就是临界点,而临界点附近的特性,可由幂次函数描述,其幂次就是临界指数(Critical Exponent)。

相变——就是从一种形式转化为另一种形式,就像水能以固体(冰)形式存在,也能以液体(液态水)和气体(蒸汽)形式存在,这些都是水的相。

换言之,从量变到质变,在质变点的物理特性,是服从幂次函数演化的,而实验表明,临界指数具有普适性,与具体的物理系统无关,即:这是一个底层演化的规律。

第四,幂次常数决定了,“幂次地图”之内的最底层规律。

  • 例如,很多宇宙规律,都是二阶平方的,如质能方程、波函数的概率,等等。
  • 例如,在电磁相互作用中,电子交换光子方式的复杂程度,决定了其对相互作用强度的贡献,而这个贡献会随着光子的交换次数呈指数式下降,而这个指数的底,正好就是精细结构常数(近似为1 / 137)——这即是一个幂次常数。

最后,我们在质变点,观察到的现象就是涌现。

涌现——是指系统从低层次到高层次的发展过程中,一些特性不存在于低层系统中,却突然出现在了高层系统中。简而言之,就是系统特性呈现出了,整体大于(甚至不同于)局部之和的现象。

  • 例如,字词构成了句子——但句子整体的含义,比局部字词的含义之和更为丰富。
  • 例如,细胞构成了人脑——但人脑整体的功能,比局部细胞的功能之和更为复杂。
  • 例如,像素构成了图片——但图片整体的内涵,比局部像素的内涵之和更为多变。

那么显然,在涌现的过程中,必然存在着,从量变到质变的非线性变化,即从0到1

事实上,局部之和也会小于整体,但这里没有涌现,例如:团队里都是“顶级专家”,结果相互不服,合作效率低下;爱下蛋的母鸡好斗,在一起不下蛋只打架;一个和尚有水喝,三个和尚没水喝。

非线性变化

如果幂次法则无处不在,那么就是从量变到质变的积累,无处不在,例如:

  • 癌症,就是突变积累,产生细胞质变;
  • 顿悟,就是信息积累,产生思维质变;
  • 灵感,就是思考积累,产生想法质变;
  • 专家,就是训练积累,产生技艺质变;

另外还有:病毒传播、牙齿矫正、产品迭代、经济、战争、宗教、天气……

以上等等,都是幂次量变积累出指数质变的过程,而幂次变化指数变化,都是非线性变化,而非线性变化,就是更为普遍的存在。

例如,电池的电量衰减,不是匀速掉电,而是能够长时间维持在一个电量范围内,接着突然地快速掉电到极低的电量范围,也就是说,电池从可用到不可用是一个非线性的变化过程。

例如,人的眼睛对光亮的敏感度,在不同的亮度下是不同的,也就是说,在黑夜中对光亮更敏感,在白昼中对光亮不敏感——这是一个非线性的感应过程。

例如,感冒自愈,并不是平均每天好那么一点,直到完全康复,而是有三四天差不多程度的不适,然后突然好转,并迅速康复——这是一个非线性的变化过程。

例如,用手指由远及近地遮蔽,单只眼睛前的一个物体,物体从可见到完全不可见的过程——这同样也是一个非线性的过程。

例如,水果的售价,会在出现一点点变质之后,迅速地衰减到0,这显然是一个瞬间的非线性的变化过程。

例如,在追求完美的过程中,达到了95%的完美之后,每一点提升,都需要非线性增长的资源与努力,甚至可能超越之前所有的付出之和。

事实上,我们身体的运作机制,包括伤口愈合、体力脑力的消耗与恢复,都是非线性变化的过程——甚至,衰老也是一个非线性的过程,即:我们不是慢慢变老,不是每天变老相同的程度,而是在生命最后的一段时间里,突然非线性的变老。

可见,关于健康,我们可以保持很长——超越我们想象长的时间,直到最后健康突然非线性的下降,并迅速死亡——至于现代社会,衰老与健康损耗似乎同时线性的进展,则是“文明”带来的“负作用”。

  • 而如果这个非线性变化发生在大脑里,就会让神经网络,快速形成结构化与抽象化的知识和认知——这就是学习。
  • 而如果这个非线性变化发生在大脑外,就会让现实世界,快速按照我们的期望和想象去迭代与改进——这就是创造。

这里需要注意是,线性变化也可以进行量变积累,但质变是指数增长,所以线性变化是难以(甚至是无法)获得指数质变的。

那么试想,如果人类的学习与创造过程,是一个线性变化,那就可能永远也无法获得,学习能力与创造能力的质变增长,从而也就不会有今天的人类文明。

然后,我们会恍然发现,从受精卵到胚胎,细胞的分裂过程(1、2、4、6、8……)就是一个非线性变化,即:生长是一个非线性的增长现象。

例如,一个成年人,本质上就是婴儿非线性放大的版本,比较一下你身体的各个部位,与婴儿的各个部位,就会显而易见这一点。

最后,我们甚至会发现——宇宙的进程、生命的进化、人类的诞生、文明的演进,统统都不是线性的。

例如,在宇宙大爆炸之初的10^-36秒,空间会以超级指数级的速度膨胀(暴胀理论,Inflation Theory),在10^-33秒之后以慢得多但仍然是指数级的速度,不断膨胀直至现在。

例如,如果把宇宙138亿年,当成地球一年的12个月来看待,那么生命会出现11月19日,人类会诞生于12月31日23点整,而文明会始于12月31日23点59分的最后一分钟。

例如,进化论(随机试错,适者留存)其实就表明,生物体随机到的微小差异,在自然的选择压力之下,经过非线性的长期积累作用,结果就会形成非常巨大的生存差异性——所以进化论又可以更形象地描述成:“物竞天择,适者有非线性差别的生存”。

于是,我们就要问了,为什么一切都是非线性的呢 ?

信息论就是答案

为什么非线性变化是世界的本质呢?——在解释之前,让我们思考两个维度:

第一,当今世界,一个近在咫尺的非线性之物——就是计算机,其硬件的发展遵循摩尔定律,其软件的底层是2的幂次方,这两者都是非线性变化

第二,现实世界的非线性变化无处不在,程序世界的非线性变化也无处不在,而在信息论的视角下,又有“万物皆比特”的信息观。

那么,这两点整合到一起就是:构成世界的本质是信息,信息结构由比特构建,比特具有非线性变化规律,所以世界的本质,到处透露着非线性变化

有趣的是,从二进制的视角来看:

  • 高位的从0到1——就是质变,并且抵过所有的低位之和,如:1000=8,0111=7。
  • 低位的从1到N——就是量变,并且积累低位上1的数量就可以逼近质变,如:0111=7,1000=8。

可见,信息的指数变化,就会带来质变,而信息的指数变化,可能会来自连接数,即:信息传递的连接数,如:脑神经网络的连接数,带来的质变就是智能

事实上,无论是幂次变化还是指数变化,它们都是乘方的形式,而2的幂次方就是最简单的乘方(即指数方程)形式。

于是可以想象,在乘方中,指数代表的就是概率的轨道范围,质变则就是轨道范围的跃迁,底数代表的就是概率随机,量变则就是随机的积累,而所有的非线性变化,都可以转换到2的幂次方来表达。

这么看来,计算机程序的世界,就像是真实世界的一个递归产物,而我们就有可能发展出用计算机去模拟一个世界的可能,并且那个我们模拟出的世界,又可以递归的创造计算机,继续模拟下一层的世界——就这么无限嵌套循环下去,如同一个“世界套娃”

有趣的是,在游戏《我的世界》(Minecraft)里,就有人创造了一个可以运行的计算机。

人工智能的发展,一旦出现像人类智能一样可以通用推理的机器智能,就宣告了我们只是上层世界的模拟,即:我们和我们的世界,都只是递归循环中的某一次迭代而已。

最后,从宏观与微观的双重视角来看:

事实上,现实世界的计算问题,都是指数增长的,虽然经典计算机的存储是指数增长,但计算过程却是线性增长——于是,这就出现了经典计算机的线性计算能力,其实是跟不上现实世界的指数计算量的。

那么解决的希望,就是量子计算——随着量子比特数量的不断增加,其不仅能够令存储指数增长,还能够实现(相当于利用平行宇宙、多重现实的)并行计算,从而达到应对现实问题所需要的指数计算量

结语

关于这个世界,我们得到了哪些结论:

第一,幂次量变积累出指数质变,是世界的本质规律。

也就是说,万物都在从量变积累到质变,但线性量变却无法积累出指数质变,因为增长速度不够,所以线性量变只能得到数量的叠加。

而在宏观,有时候我们看到的是指数增长,但此时在微观,我们没有注意到的却是幂次增长——换言之,在指数变化的背后,必定充斥的是幂次变化

那么,以系统的角度来看,任何系统量变都是幂次积累,因为任何系统都处在一个轨道之内(即概率范围内),而这个轨道(概率范围)就是系统幂次常数

第二,从0到1,是指数质变的表现,是我们的追求,也是被规律所推动的演化(只不过天选之变并不确定)。

就像,一个市场可以超越其它总和、一个决策可以改变所有一切、一个创新可以颠覆所有、一次成功可以抵消所有失败、一次选择、一行代码、一个功能、一个特性、一个想法——可以决胜于千里之外,这是什么?

这就是,我们称之为奇迹或是传奇,且不时会在我们的世界发生的——“质变点”,也就是“黑天鹅”

第三,所有事物的发展,都有两个阶段:首先从0到1,然后从1到N,前者需要勇气、闪念、概率、突变与命运,而后者只需要——迭代

从0到1——是革命、是颠覆、是系统能量不守恒的混沌边缘、是新的平衡在黑暗中始作俑者般的演化膨胀——如果说,0和1是猴子与人类的区别,那么1和N就是穷人与富人的区别,我们可以说富人与穷人是平等的(因为质相同),但是我们不能说猴子与人类是平等的(因为质不同)。

第四,按照幂次法则运作,注定会让——强者越强,弱者越弱;换个角度就是——成功是成功之母(强者越强),失败是失败之父(弱者越弱)。

第五,遵循非线性变化,则意味着平均数预测无效。

因为,在非线性情况下,偏离正常值3个单位的情况,会比正常情况罕见300多倍,而偏离正常值5个单位的情况,则会比正常情况罕见100万倍以上。

换言之,用平均数(即线性思维)去评估预测非线性变化波动性可能性,是没有任何效用与意义的。

  • 例如,不要因为一条河“平均”只有一米深,就试图趟过去,因为最深的区域可能会让你非常脆弱。
  • 例如,某疾病的平均概率是万分之一,但具体到某个年龄段,可以是千分之一,甚至是百分之一。

关键在于,所有的小概率事件(如坠机),在差错面前都是非常脆弱的(如必死),但其概率往往都会被低估了一万倍以上(如黑天鹅)。

第六,二八定律视角下,少数关键变量(20%)的计算,就可以大概率决定结果,想要极高的确定性,就要超多变量(80%)的计算。

第七,历史总是自相似的惊人押韵——这就是因为幂律分布的分形特性——所以未来也会“幂律押韵”

最后,毫无疑问,万物皆比特。

后记1:是的,就是循环

细细想来,我们一直不断地在努力积累000,并希望有一天可以遇到那个1,然后下一关、下一个阶段——可是或许下一关、下一个阶段,在得到之后——却是无尽的下一个关和下一个阶段。

这就像,越过了高山的屏障,看到的是另一座高山,越过了沙漠,是另一片沙漠,来到了宇宙的边际,看到的是另一个宇宙——难道这就是从量变到质变的无限循环

是的,就是循环——是循环让量变积累成了质变,并重复从量变到质变的过程,这是一种“循环增强”的模式——又称为“回路增强”或“闭环增强”。

这种模式,在宏观的效用——是让质变之后再循环下一次质变;在微观的效用——是不断增强量变的积累,从而加速质变的过程。

例如,第一推动力——兴趣,会让我们在微观,循环练习积累量变,一旦获得宏观可见的质变,就会增强我们兴趣,从而促使我们更积极的循环练习,接着更快出现下一次质变,这又会再次增强我们的兴趣,然后又是循环练习增强兴趣……就这么一直循环下去……

可见这个模式,就是微观循环的量变,产生质变,推动了微观循环本身,从而形成了宏观循环的质变,最终一个又一个循环的质变,得到的就是循环的增强。

那么,这个循环增强模式,其实是无处不在的,例如:

  • 宗教中的马太效应
  • 竞争中的赢家通吃
  • 市场中的偏好依附
  • 发展中的积累效应
  • 商业中的规模效应

以上等等,是幂次变化;

  • 经济学中的复利效应
  • 心理学中的墨菲定律
  • 计算机中的摩尔定律

以上等等,是指数变化;

而以上全部都是非线性变化的——循环增强,也可以称为——飞轮效应,因为这个过程具有滞后效应,即:就像飞轮加速一样,是一个从慢到快,再到越来越快的过程——但最后会抵达速度上限无法更快,除非更换“飞轮”。

事实上,在非线性变化中,一层套着一层,一端是无限大,一端是无限小——我们的一切行为,都只是非线性演化曲线上的一个个数据点,无论是从0到1还是从1到N,永远存在着下一个更难的阶段——没有尽头,一切都在无尽的循环迭代之中。

那么在现实中,没人会在乎你的努力过程(即量变),人们只会认可你的成功结果(质变)——如果你不能脱颖而出,对别人的认知来说,你就相当于从未努力过,或者觉得你再怎么努力,也都注定无法成功。

因此,我们应该铭记于心的一句话,就是:

人们只能看到你的宏观质变,但你不能否定自己的微观量变,而只有循环下去才可能变强并得到一切。

后记2:痕迹与自由

量变没有痕迹,质变会感到自由。

量变会遇到错误、会进展缓慢、会遭遇阻力、会极其缓慢,更为重要的是,量变是漫长的、甚至是极其漫长的过程,而如果一直处在“量变无痕”之中,我们就会情绪失常、会怨天尤人、会自怨自怜,最终我们就会想要放弃,并找到推托之词与放弃之由。

但我们可以放弃吗?放弃了会怎样?

幂次法则告诉我们,量变无法避免,只有坚持走过量变无痕,才能抵达质变自由——是的,当我们来到质变点的时候,我们才能够真正体会到,那种突破以后的感觉,那是一种“自由”的感觉。

试问,“自由”那是怎么样的一种感觉?——那是“自由”的感觉(依然是循环)。

后记3:长尾理论与二八定律

长尾理论二八定律都是幂次法则的体现,但为什么人们通常会认为,它们会是相对立的呢?——这是因为:

  • 二八定律——认为20%的重要性和决定性,超过了其它80%的总和,所以只要关注20%就可以了。
  • 长尾理论——认为80%的重要性和决定性,长期来看将会是最大的,所以只要关注80%就可以了。

如此可见,这两个规则确实是对立的,即:一个强调20%关键,一个强调80%关键——但其中隐含的关键,就是时间——这个人类的头号敌人,也是人类的头号朋友。

试想,如果给定一个时间限制,20%就会拥有绝对优势,而如果不限定时间,这样80%在长尾里,就会拥有绝对优势——这可以理解为,是80%利用时间积累出了质变

可见,20%的效用,要么是直接获得了(80%积累产生的)质变,要么就是赢得了(80%所必需要的)时间

事实上,时间就是一个让积累发酵成质变的关键变量——我们不能忽视时间变量,因为生命有限,如果80%的收益,需要100年的积累,就算这100年一个人能活到,中间所需要支付的等待成本,也将会对冲掉大量长尾所带来的等待收益——尤其是时间变量,不仅会积累出“正面黑天鹅”(正质变),也同样会积累出“负面黑天鹅”(负质变),从而非线性地抵消长尾收益

简而言之,通过价值投资,获得“质变回报”的首要条件,是活得足够久——巴菲特就是如此,其巨额投资回报主要集中在65岁之后。

而从另一个角度来看——20%是关键,80%是细节——对于未知与创造,往往需要通过80%的细节路径,才能找到那20%的关键信息。

例如,金融投资,就需要用80%的时间——承受下跌与消化震荡,然后才能在20%的时间——赢来上涨与获得回报。

所以,长尾理论并不是否定了二八定律,而还是说明了——量变积累产生质变的过程。

后记4:素数与质变

素数,有着很简单的定义,即:一个大于1的自然数,除了1和它自身之外,不能被其它自然数整除的数,就叫做“素数”——否则称为“合数”。

显然,0和1既不是素数也不是合数,而素数的特别之处——就在于它不能够分解成自然数(除了1和自身)的乘积,那么也就不能写成乘方或指数形式。

可见,素数可以理解为——不是重复性积累的结果,而就像是积累出质变的结果。所以,素数在数学和物理现实中,都有着特殊的意义和作用——因为它是质变的节点。

或许,宇宙只需要0和1就足够了,后面都是0和1进行重复性积累,然后抵达一个个质变点的循环过程。

因而我们可以看到,历史数据揭示了概率,概率中隐藏着由幂次法则所主导的,可以抵得过所有历史量变总和的质变,而从量变到质变不确定性的过程,则产生了——“黑天鹅”“素数”,或可以合称为——“素数黑天鹅”

就如同二八定律,如果我们从素数的角度来看——其实是“1、1、3、5”的比例,那么20%中就有两个质变点,即两个10%,而80%中也有两个质变点,即30%和50%。

这么理解的意义,就在于细粒度地刻画了,从量变到质变的过程,即:

  • 首先,要超过50%,就能得到第一次质变——获得明显优势;
  • 接着,再超过30%,就能得到第二次质变——获得全面领先;
  • 然后,再超过10%,就能得到第三次质变——获得极致结果;
  • 最后,再超过10%,就能得到第四次质变——获得垄断局面。

或许,素数是一条路径,连接了宇宙的起点与终点。

后记5:预期寿命与概率分布

风险哲学家、随机性大师、“黑天鹅之父”——纳西姆·塔勒布,在《反脆弱》中,给出了这样一个表格:

  • 正态分布——新事物比老事物,预期寿命更长,如:人类的寿命。
  • 指数分布——新事物和老事物,预期寿命相同,如:物种的寿命。
  • 幂律分布——老事物比新事物,预期寿命更长,如:基因的寿命。

事实上,对于正态分布(即高斯分布),预期寿命与已有年龄成反比,即:年龄越大,预期越少;而对于幂律分布,预期寿命与已有年龄成正比,即:年龄越大,预期越多。

例如,越古老的基因,越可能更长久的存在下去,而刚突变的基因,则还未经过时间的考验与环境的筛选——显然,基因的寿命存在“赢家通吃”的马太效应。

从此可以看出,幂律分布是“自然选择,适者生存”的结果,这里生存的时间越长,就越可以抽象为信息,从基因到分子原子到电子夸克,永恒不朽的是信息,而结构只是一个载体。

例如,技术很大程度上是一种信息,而不是一个实体,它不会像人类一样“高斯衰老”,而是“幂律传播”

那么,结构的生存,其实只是反映了信息有限的生存状况,所以结构的寿命不一定是幂律分布。

后记6:从数学角度看幂次法则

在数学上:

    • 正态分布——是多个随机变量,独立相加的结果。
    • 幂律分布——是多个随机变量,相互影响、相互关联、相互依赖的结果。

例如,“身高、智商和寿命”是正态分布(即高斯分布),是因为“身高、智商和寿命”由多个独立因素控制,这些独立因素的效用之和,决定了“身高、智商和寿命”。

那么,一个复杂系统,内部充满了相互紧密影响、关联、依赖的“不独立”随机变量,这些变量之间远近不同的协调与作用,就会形成一个幂律分布的结果,而这种协调与作用,就是“自组织”,典型的就是——生命系统、社会系统、金融系统、生态系统。

例如,在大脑的神经网络系统里,距离很近的神经元会同步放电——显然它们具有关联性——但随着神经元之间的距离增加,放电衰减呈现幂律分布——换言之,幂次法则在每个人的脑子里运作。

事实上,正是幂律分布要求随机变量之间具有关联性(即幂律关联),所以这样的系统才容易产生正反馈,正反馈容易积累量变,量变不断积累(在非线性系统中)容易获得质变,一次质变就可以超越之前的量变之和,因此会呈现局部之和大于整体的涌现现象

例如,“黑天鹅”就是幂律分布的结果,也是量变到质变的结果,也是局部之和大于整体的结果,也是涌现现象。

那么,更宏观地来看,万事万物都是相互关联的,那么宇宙演化就会服从幂律分布;更抽象地来看,所有一切点点滴滴都是相互关联的,那么宏观与微观就会服从幂律分布——而这就是幂次法则主宰宇宙的原因所在。

例如,自然界随机演化的货币是能量,所以生物体的最优演化结果,是能量利用率(即能量消耗)最高,这和人类的文明活动高度一致,同理宇宙也是追随能量消耗(即熵增)演化的——所以生物演化的统计模型(如黏菌路网),可以应用到从人类社会(如交通路网)到全宇宙(如暗物质管道路网)。

后记7:复杂性涌现与层级封装

从某种角度说,涌现 = 复杂性 + 能量,即:在复杂性中积累出突破层级的能量就会涌现。

事实上,层级会阻隔相互作用、会压制混沌、会屏蔽复杂、会抵消随机——所以宏观通常都是极其确定的,其确定性就是来自层级的“能量封装”

例如,原子是物质稳定的底层结构,就是因为原子核层,封装了核能(即动力学隔离),而量子效应无法出现在宏观,就是因为宏观层封装了微观的相互作用。

那么,无论是宏观整体控制微观局部,还是微观局部服从宏观整体,都在于层级封装了局部,接着层级之间的相互作用,就取代了局部之间的相互作用,即层级会阻隔微观的相互作用,并主导了秩序的演化,从而形成了更宏观统一的秩序。

因此,涌现现象——就可以理解为是层级封装被破坏之后的产物,即层级之间突破阻隔出现了更多的连接与相互作用,这对应到数学表达上,就是:

在x^n中,底数x是层级内的变化,指数n是层级间的变化,如2^2切换到6^2——就是层级内的变化,而2^2切换到2^6(或2^-2到2^-6)——就是层级间的变化,也就是突破层级的涌现。

同理,在分形结构中,局部可以与整体自相似,但都是自相似,为何局部之和可以超越整体呢?

答案就是,突破层级封装的长程连接,带来了涌现效应——换言之,层级之间的长程连接作用强度,就可以定量描述涌现的质变点

那么或许,人脑的神经网络,正是由于遥远区域的长程连接作用强度,才带来了智能的涌现,甚至是意识的涌现,而动物的大脑同样拥有神经网络,但缺少长程连接——即数量不够、层级不够、距离不够、连接不够——所以无法涌现出智能与意识。

有趣的是,如果说人脑中的长程连接带来了洞见,而洞见的洞见还是洞见,这是一种标度不变性,也就是自相似性,所以长程连接其实也是一种分形结构。

可见,分形结构天生就具有涌现能力,这说明——分形结构就是一种涌现动力学结构。

最后,在物理模型中,电磁力与引力都是“长程力”——它们可以在宏观宇宙中创造长程连接,而量子纠缠可以在微观宇宙中创造“长程连接”

可见,从微观到宏观,长程连接是无处不在的,可以说是长程连接主导了宇宙中的一切涌现,否则一切都将被封装在量子涨落之间。

后记8:对数视角看幂律世界

双对数坐标系下,非线性关系的曲线就变成了直线——乘法变成了加法除法变成了减法倒数变成了正负指数变成了乘数根数变成了除数——这就是对数视角下的幂律世界

那么,把非线性的曲线“拉成”线性直线之后,我们就会发现线性变化,其实是数量级的变化,我们感到了天翻地覆的变化,但这就是幂律世界的简单特性,即“线性涌现”

而这条直线的斜率(固定比例),就是分形结构的维度,又称“分形维数”(Fractal Dimension)——它是分形结构“褶皱度”的体现,其代表了规模缩放的不变性,即:不随规模和时间改变的比例。

可见,这个“褶皱不变性”,就是幂律世界在不同维度上的复杂性底层逻辑

后记9:从幂律到正态的熵增

物理学诺奖得主——肯尼斯·威尔逊(Kenneth Wilson),在收集研究了很多临界态的瞬变数据后,发现在临界态附近由无序有序的相变过程中,关键数据指标都涌现了——幂律分布,如:水从液态相变成固态。

换言之,相互作用让无序相变成有序,同时也带来了幂律分布现象。

那么,从相互作用的角度来看,物质不独立,有可叠加积累的相互作用——就会呈现出幂律分布;相反物质独立,没有相互作用——就会呈现出正态分布

事实上,没有任何相作用的系统(即全是独立变量)——就是熵值最大无序系统,而充满强烈相互作用的系统(即全是关联变量)——就是熵值最小有序系统

可见,只要存在从无序到有序的熵减过程,幂律分布就会必然发生,而从有序到无序的熵增过程,即是由幂律分布趋向正态分布的过程。

而一个系统的演化,其实就是自身的熵减——所以演化系统必然会幂律分布,但熵减的代价是环境更加熵增——所以演化环境必然会正态分布

因此,宇宙的熵增演化,最终将会走向正态分布的结局,但其过程将会历经各种幂律分布的“相变”,直到幂律曲线完全拟合成正态曲线

后记10:非线性的边际

经济学是研究人、社会以及世界运作的学科,而在经济学中,最关心的就是边际(Marginal)——平均与总量并不重要。

简单来说,边际就是微小的变化量,对应数学上的导数;通俗来说,边际就是新增带来的新增;例如:

  • 成本的变化量(即新增产品的新增成本)就是边际成本
  • 收益的变化量(即新增交易的新增收益)就是边际收益
  • 产量的变化量(即新增制造的新增产量)就是边际产量
  • 服务的变化量(即新增工作的新增服务)就是边际服务
  • 效用的变化量(即新增付出的新增效用)就是边际效用

那么,如果所有行为的边际收益都相等,这就是达到了边际平衡,即总收益最大,而当边际成本等于边际收益时,所获得的总效用就是最高的。

因此,经济学并不关心,一个人以前是好人还是坏人(即平均意义),以及做过多少好事或坏事(即总量意义),只关心一个人在环境变量发生变化时,其心理和行为会发生多少变化(即边际意义)。

有趣的是,对于人(在面对环境变化时)的边际变化,行为经济学家——史蒂芬·列维特,在《魔鬼经济学2》中,曾指出:

“人不是「好人」,也不是「坏人」,人就是人,刺激之下,人会做出相应的反应,人几乎总能受到影响或控制,进而变好或变坏,只要你能找到恰当的方法。”

换言之,一个人过去的平均意义,无法预测其未来的边际意义

那么之所以,经济学可以通过边际(而不是平均与总量),来反映和预测人、社会及世界的运作,就是因为边际(即导数)可以抓住并体现——万物底层的非线性变化(而平均与总量则不行)。

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