费马大定理的简洁证明

费马大定理的简洁证明1637年,法国业余数学家费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时,在第11卷第8命题旁写道:“将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。

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张祥前

1637年,法国业余数学家费马在阅读丢番图(Diophatus)《算术》拉丁文译本时,在第11卷第8命题旁写道:“将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。对此,我想到了一种绝妙的证明方法,可惜这里空白的地方太小,写不下。”

现在很多人认为费马要么没有想到证明方法,要么想到的是错误的。1995年,英国的怀尔斯宣称证明了费尔马大数定理,但是,证明过程太长,而且用了很多新的数学工具,其证明的正确性遭到很多人的怀疑。

下面给出费马大数定理的一个简单证明。

费马大定理的命题为:方程“a的n次方 + b的n次方 = c的n次方”在 a,b,c,n都是非零正整数的情况下,n的值只能是1和2 。

下面给出证明。

n取1的话,a,b,c可以为正整数无须证明。现在我们把n取一个大于1的固定正整数,让a和b各自从1开始,到2,再到3,再到4,再到5••••••这样以正整数逐步增大。我们发现c的值随着a,b的增大而增大,c的值(还不是正整数之前)是一系列正整数的n分之1次方(结果是无理数)。c 的值随着a,b的增大而增大,假如我们突然发现c 的值出现了一个正整数。这个时候我们可以用三根数轴c,a,b来描述c,a,b,让三根数轴c,a,b处于一个平面内。这个时候c大于a和b,而小于a+b,c,a,b又都是正整数,所以,数轴c,a,b可以组成一个三角形P。

费马大定理的简洁证明

令θ为a,b之间的夹角,c是最大边,θ为最大角,这样θ大于60度而小于180度,令α为a轴和c轴之间的夹角,β为b轴和c轴之间的夹角。这样有:c = a cosα + b cosβ对于这个三角形P【边长分别为a,b,c,其中c值最大,a,b,c都是正整数】,我们来考虑一下c的值随着a,b的增大,会怎样对应着变化?我们让a和b各自从1开始,到2,再到3,再到4……这样以正整数逐步增大,而 c值只能以下面6种方式增大。

1、以一系列分数增大。

2、以一系列分数的2分之1次方(结果是无理数)增大。

3、以一系列正整数的2分之1 次方加【或者减】正整数的2分之1 次方(结果是无理数)增大。

4、以一系列正整数的2分之1 次方(结果是无理数)增大。

5、以一系列正整数的二分之一次方加【或者减】分数的2分之1 次方(结果是无理数)增大。

6、以上5种的混合形式增大。

以上6种情况和前面的论述:“c的值(还不是正整数之前)全部都以正整数的n(n如果大于2)分之1次方(结果是无理数)增大”相矛盾的。只有n等于2的话,和以上的情况4才是不矛盾的。所以在n大于2的情况下费马方程没有正整数解。

证毕。

还有两个推论:

1、n大于2的时候,方程没有有理数解。

2、我们用尺子和圆规在平面上画不出开n(n为大于2的一个正整数)次方的无理数。这个也是费马大定理的几何实质。

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