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张祥前

1637年，法国业余数学家费马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时，在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。对此，我想到了一种绝妙的证明方法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”

现在很多人认为费马要么没有想到证明方法，要么想到的是错误的。1995年，英国的怀尔斯宣称证明了费尔马大数定理，但是，证明过程太长，而且用了很多新的数学工具，其证明的正确性遭到很多人的怀疑。

下面给出费马大数定理的一个简单证明。

费马大定理的命题为：方程“a的n次方 + b的n次方 = c的n次方”在 a，b，c，n都是非零正整数的情况下，n的值只能是1和2 。

下面给出证明。

n取1的话，a，b，c可以为正整数无须证明。现在我们把n取一个大于1的固定正整数，让a和b各自从1开始，到2，再到3，再到4，再到5••••••这样以正整数逐步增大。我们发现c的值随着a,b的增大而增大，c的值（还不是正整数之前）是一系列正整数的n分之1次方（结果是无理数）。c 的值随着a,b的增大而增大，假如我们突然发现c 的值出现了一个正整数。这个时候我们可以用三根数轴c,a,b来描述c,a,b，让三根数轴c,a,b处于一个平面内。这个时候c大于a和b，而小于a+b，c,a,b又都是正整数，所以，数轴c,a,b可以组成一个三角形P。

令θ为a，b之间的夹角，c是最大边，θ为最大角，这样θ大于60度而小于180度，令α为a轴和c轴之间的夹角，β为b轴和c轴之间的夹角。这样有：c = a cosα + b cosβ对于这个三角形P【边长分别为a，b，c，其中c值最大，a,b,c都是正整数】，我们来考虑一下c的值随着a，b的增大，会怎样对应着变化？我们让a和b各自从1开始，到2，再到3，再到4……这样以正整数逐步增大，而 c值只能以下面6种方式增大。

1、以一系列分数增大。

2、以一系列分数的2分之1次方（结果是无理数）增大。

3、以一系列正整数的2分之1 次方加【或者减】正整数的2分之1 次方（结果是无理数）增大。

4、以一系列正整数的2分之1 次方（结果是无理数）增大。

5、以一系列正整数的二分之一次方加【或者减】分数的2分之1 次方（结果是无理数）增大。

6、以上5种的混合形式增大。

以上6种情况和前面的论述：“c的值（还不是正整数之前）全部都以正整数的n（n如果大于2）分之1次方（结果是无理数）增大”相矛盾的。只有n等于2的话，和以上的情况4才是不矛盾的。所以在n大于2的情况下费马方程没有正整数解。

证毕。

还有两个推论：

1、n大于2的时候，方程没有有理数解。

2、我们用尺子和圆规在平面上画不出开n（n为大于2的一个正整数）次方的无理数。这个也是费马大定理的几何实质。