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学过高等数学或参加过考研的同学肯定知道，证明一个数列收敛是一类比较难的问题。在高等数学的范围内，证明一个数列收敛只有两种办法：一个是夹逼定理，一个是单调有界定理。而这两种办法使用起来都有相当的困难。使用夹逼定理，需要找到一大一小两个数列，同时它们还得有相同的极限。使用单调有界定理，不仅需要证明单调，同时还得证明有界，而且两个还必须匹配：如果是单调递增，则需要证明有上界；如果是单调递减，则需要证明有下界。不管是哪种情况，使用起来都相当困难。如果是做大题的话，那么详详细细地写论证步骤还比较划算。但是如果碰到选择题或填空题，一道小题也要耗上很长时间来判断数列是否收敛，从时间上看就很划不来了。

那么，今天就来给大家介绍一种非常快捷的判断数列是否收敛的方法，我们称之为压缩数列法。

1.什么是压缩数列？

压缩数列的定义如下：

从这个定义也可以看出来“压缩”的意思，指的就是每两项之间的差值在逐次缩小，并且还要小于一个比例常数，当然我们还要求，这个比例常数比1还要小。

2.压缩数列与收敛性有什么关系？

我们的结论就是：

定理：压缩数列一定收敛。

我们来证明一下这个定义，需要使用比较判别法和绝对收敛。

好了，上面就是定理的证明过程。有了这个定理之后，在做选择题和填空题的时候，如果你能发现它是一个压缩数列那么我就知道他一定是收敛的，这样的话能节省很多时间。

3.应用举例

首先来看一道在考研中非常常见的一类问题：

在标准答案中，只能使用单调有界定理：

用这种方法来证明过程非常繁琐，需要使用两次数学归纳法，而且如果判卷子严格的话，哪怕有一步有漏洞或者省略，都不能得到满分。

那么下面来用一下本文介绍的压缩数列法来证明：

可以看出，用压缩数列法来证明非常简单，只需要一步即可完成。可以验证，在很多情况下，压缩数列法都是一种非常快捷的判断数列收敛的方法。感兴趣的同学可以找到更多的考研题目来试一试。

不过，这种方法并不在考研大纲范围内，因此如果在考研过程中大题证明题使用这种方法是不允许的。但是对于做选择题和填空题来讲，这不失是一种节约时间的好办法。

4.历史背景

看了上面的例子，可能不少同学会感到非常惊讶，竟然还有这么简单且快捷的方法。但其实，这个方法也只是一个更高级定理的初等形式。这个更高级的定理便是历史上赫赫有名的——巴拿赫不动点定理(Banach fixed-point theorem)。

巴拿赫不动点定理，也叫压缩映射原理它的全文叙述如下：

当然，要理解这个定理，就需要学习更高级的数学知识了，这不在本文的范围之内。

压缩映射原理是泛函分析(functional analysis)这门学科中的非常重要的一个定理，是由波兰数学家巴拿赫于1922年提出的，他本人也是泛函分析这门学科重要的创始人之一。

巴拿赫1892年出生于波兰的克拉科夫，自小酷爱数学，但是命运却比较坎坷，为家境和第一次世界大战的原因，他没有完整且系统地接受过专业的数学训练。但他却靠着坚韧的毅力，通过自学获得了很多数学知识，结识了当时数学界的很多前辈。1917年，巴拿赫的第一篇论文发表在《克拉科夫科学院会报》上，并因此于1920年获得利沃夫工学院的助教职位，从此开启了他的数学生涯。

巴拿赫于1922年提出了巴拿赫不动点定理，1927年升为正教授。他引入了线性赋范空间这一概念，成为泛函分析的基础概念，并且证明了泛函分析中的三大定理：泛函延拓定理，共鸣定理和闭图像定理。他的名著《线性算子理论》是泛函分析发展学科历史上的里程碑，它的出版标志了这门学科的正式诞生。他本人也成为泛函分析领域研究的世界权威。

巴拿赫于1939年当选为波兰数学会主席，但不幸随即爆发了第二次世界大战，波兰被德军占领。巴拿赫在比较糟糕的境况下于1945年去世。

他和不仅是一位出色的数学家，也是一位出色的数学教育家，他培养了一大批青年，形成了强大的利沃夫泛函分析学派，为世界数学发展做出了杰出贡献。

泛函分析是现代数学的一个重要分支，主要是利用分析学的方法研究各种各样的函数空间，包括巴拿赫空间以及希尔伯特空间，以及空间上的算子理论。

泛函分析在其它各数学分支中都有广泛应用，比如积分方程，微分方程，以及在物理学，经济学等领域，尤其是宏观经济学中具有非常重要的地位。宏观经济学研究消费者长期选择行为的所使用的拉姆齐模型和变分法，来源就是泛函分析。

不动点问题也是数学中的一个重要研究问题，所谓某个函数f(x)的不动点，指的就是它的原像和像一致的点，即满足f(x)=x的点。当然数学家们的研究问题要远远比这复杂，诞生了三大重要的研究成果。其一便是本文介绍的度量空间上的巴拿赫不动点定理。它在证明微分方程解的存在性问题中具有极其重要的作用。

除此之外，在拓扑学领域还有布劳威尔(Brouwer)不动点定理，应用该定理可以证明很多非常有趣的事情。比如网上经常流传的一个很著名的数学问题：拿一张本地的地图铺在地面上，那么地图上总有一个点和该点所表示的实际的点相重合。

第三个就是集值映射领域的角谷静夫(Kakutani)不动点定理，那在经济学领域中有很重要的应用，是研究一般均衡理论的重要工具。

5.总结

本文从一道简单的考研题目说起，引出了一个重要的数学分支——泛函分析，目的就是为了向大家展示，数学的探索是无穷无尽的，每念及此，屈原的那句话都会回响在笔者耳畔：路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！