范畴论将会兴起（第16集）：函子范畴

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什么是函子范畴?

在数学中，函子范畴（functor category）是指由两个给定范畴构造出来的一种新的范畴。

具体来说，考虑范畴C和D，其中C是一个对象的集合，且有一些态射（箭头）来连接不同对象。而D也是一个对象的集合，同样有一些态射来连接不同对象。那么函子范畴是指从范畴C到D的函子组成的范畴，记作[D, C]。

函子范畴的对象是从C到D的函子，即一个函子F，它将C中的对象映射到D中的对象，并将C中的态射映射到D中的态射，同时满足函子保持态射的组合和恒等性。

函子范畴的态射是自然变换（natural transformation）。自然变换是指对于每个C中的对象，有一个D中的态射与之对应，并且这些对应关系在保持组合性和恒等性方面是自然的。

函子范畴的定义使得函子本身也成为一个范畴，其中函子之间的态射是自然变换。这样一来，我们可以将函子范畴看作是范畴的”高阶”范畴，其中函子扮演了对象的角色，自然变换则是态射的角色。

函子范畴在数学中扮演着重要的角色，它们被广泛应用于许多不同的领域，如范畴论、代数、几何等。

给出与函子范畴相关的基本概念，至少15条

当涉及到函子范畴时，以下是一些与之相关的基本概念：

1. 基本范畴：给定两个范畴C和D，在函子范畴[D, C]中，C被称为基本范畴。
2. 函子：一个函子F是指从范畴C到D的一个映射，它将C中的对象映射到D中的对象，并将C中的态射映射到D中的态射。
3. 自函子：自函子是指基本范畴和自身范畴间的函子，即函子F : C → C。
4. 零函子：零函子将所有C中的对象映射到D中的一个特定对象0，并将其所有的态射都映射为D中的恒等态射。
5. 函子之间的组合：对于函子F: A → B 和 G: B → C，可以定义它们的组合函子G∘F: A → C，它将A中的对象和态射映射到C中。
6. 函子的同构：如果存在函子F: A → B 和 G: B → A，并且它们的组合F∘G和G∘F分别等于恒等函子，那么这两个函子被称为同构函子。
7. 自然变换：自然变换是指从一个函子到另一个相同基本范畴的函子之间的态射。对于每个C中的对象，存在一个D中的态射与之对应，并且满足一些特定的性质。
8. 对象逸出：在函子范畴中，存在萃取对象逸出的函子，它将一个范畴D映射为函子范畴[D, C]。
9. 广义元：在函子范畴中，给定一个函子F: C → D，对于C中的一个对象X，F(X)被称为广义元。
10. 协变函子和逆变函子：协变函子是指保持态射的方向，即将C中的态射映射到D中的态射的函子。逆变函子是指反转态射的方向，即将C中的态射映射到D中的逆态射的函子。
11. 初始对象和终止对象：在函子范畴[D, C]中，初始对象是指对于每个函子F: C → D，存在一个唯一的函子 F_0：0 → F 使得对于任意的函子 G: 0 → F，存在唯一的自然变换 G → F_0。类似地，终止对象是指对于每个函子 F: C → D，存在一个唯一的函子 F_1: F → 1 使得对于任意的函子 G: F → 1，存在唯一的自然变换 F_1 → G。
12. 函子的伴随：如果给定函子 F: C → D 和 G: D → C，它们之间存在一个函子间的伴随关系，表示为 F ⊣ G。这意味着对于每组C中的对象X和D中的对象Y，存在一一对应的态射集合Hom(F(X), Y)和Hom(X, G(Y))，并且这种对应性保持了态射的组合性。
13. 单子范畴：单子范畴是指与函子范畴相关的特殊范畴，其中基本范畴和函子范畴中的对象均为同一范畴，而函子表示了该范畴中的态射。
14. 函子范畴的协和性：在函子范畴中，给定范畴C和D，函子F: C → D 可以与函子G: C → D 元素级地组合为F⨾G，并且该组合满足协和性条件。
15. 函子代数：在函子范畴中，函子代数是指一个函子F: C → C 和一个对象A∈C，使得存在一个C中的态射 F(A) → A，即函子F在对象A上的自然变换。

给出与函子范畴相关的基本思想，至少15条

1. 函子范畴是由两个给定范畴构造出来的一种新的范畴。
2. 函子范畴的对象是从一个范畴到另一个范畴的函子。
3. 函子范畴的态射是自然变换，它们连接不同函子之间的关系。
4. 自然变换是函子范畴中的态射，它们满足函子之间的组合和恒等性。
5. 函子范畴的组合是将自然变换进行垂直合成，即将一个自然变换的输出与另一个自然变换的输入相连接。
6. 函子范畴具有恒等态射，它们是将每个函子映射到自身的自然变换。
7. 函子范畴满足关联律，即在多个自然变换进行垂直合成时，不管是先合成哪两个再进行合成，最后的结果应该是一样的。
8. 函子范畴可以用来表达范畴之间的”转换”，其中函子是转换的工具。
9. 函子范畴的构造过程将范畴上的结构映射到另一个范畴上，从而提供了一种更高层次的抽象。
10. 函子范畴可以帮助我们研究范畴之间的关系和相似性，从而构建更深入的数学理论。
11. 函子范畴在代数（如群论、环论）、几何（如流形、拓扑空间）等数学领域中有广泛的应用。
12. 函子范畴可以用来定义和研究范畴之间的同构或同伦等等特性。
13. 函子范畴中的态射（自然变换）可以被看作是函子的一种”变形”，它们描述了函子之间的结构转换。
14. 函子范畴的研究使得我们能够更深入地了解函子的性质和作用，从而进一步发展范畴论的理论。
15. 函子范畴的概念也启示我们，范畴论中的对象和态射不仅限于具体的数学结构，而可以是更高层次的抽象概念，如函子范畴本身。

给出与函子范畴相关的基本定理，至少10条

以下是与函子范畴相关的一些基本定理：

1. Yoneda引理：当有两个函子F、G，使得对于任意范畴C中的对象X，函子F(X)和G(X)之间存在一一对应的自然变换，那么F和G是同构函子。
2. 函子范畴中的可表函子：对于一个范畴C，可表函子是指与某一对象相关的函子，这些函子与某一对象的Hom函子同构。
3. 忘却函子的左伴随存在定理：如果给定两个范畴C和D，其中D包含C，则D中的忘却函子有一个左伴随函子。
4. 函子的复合与范畴的复合：函子范畴[D, C]中的函子复合与C中态射的复合对应。
5. 函子范畴的积范畴：如果C和D是两个范畴，它们的函子范畴[D, C]的积范畴是指[D × D, C]中的一个函子范畴。
6. 函子的点函子性质：对于一个函子F，它与Hom函子存在一个自然同构。
7. 相对小的函子范畴是完备和余完备的：相对小的函子范畴[D, C]是一个完备和余完备的范畴，即该范畴中存在所有小的极限和余极限。
8. 函子的扩展性质：如果一个函子保持所有的构造（如有限积、有限余积、等等），那么它是一个扩展函子。
9. 函子范畴的同构与函子的同构：如果范畴C与D同构，那么函子范畴[D, C]与[^() ,^()]也是同构的，其中^()和^()分别是C和D的对偶范畴。
10. 函子的伴随和导出函子：如果F和G是两个函子之间的伴随，那么对任意范畴C中的对象X，伴随性质导出了F(X)和G(X)之间的自然同构关系。

这些定理只是函子范畴中的一部分，还有许多其他的重要定理和性质。这些定理和性质在范畴论的研究中扮演着重要的角色，帮助我们理解函子和范畴之间的关系