简介

单个光子是一种特殊的相对论质量为零的波粒子，科学家们仍然在为其赋予清晰的物理表示而努力。

从历史上看，对光性质的科学理解一直是在波动性和粒子性之间持续权衡的过程，取决于对实验结果的解释。

在探讨光子的量子描述和可能的相关波函数之前，了解关于光性质的历史演变至关重要。

17世纪，牛顿重新发扬了古希腊关于光本质的观念，认为光是由在均匀介质中直线传播的个别小颗粒组成。另一方面，惠更斯基于波动表示发展了一种精细的光学理论，否定了牛顿的小颗粒理论。

近两个世纪后，杨利用不同的光源实验获得了干涉图案。他还通过假设光振动相对于传播轴有特定方向来解释一些偏振实验。

当时无法用牛顿的小颗粒理论解释实验中的衍射图案，而欧拉和菲涅尔则很容易应用波动理论进行精确解释。詹姆斯·克拉克·麦克斯韦于1865年发表了关于电磁波的杰出理论。

他首次建立了电场和磁场之间的关系，并推断光由电磁波组成。赫兹通过发现长波长电磁辐射在实验上证实了这一理论。在19世纪末，科学界用波动理论取代了牛顿的小颗粒表示光的方式。这种转变没有持续太久。

20世纪初，为了解释黑体辐射的光谱能量密度，普朗克以一种特殊含义重新引入了光的粒子性概念。

他假设物体由“振子”组成，这些振子具有发射电磁“包”（能量为hν，其中ν为频率，h为普朗克常数）的特点。几年后，基于普朗克的工作，爱因斯坦提出了对光电效应的解释，该效应首先由赫兹观察到，假设电磁辐射本身由具有能量hν的量子组成。

在1923年，康普顿认为只有光量子才能解释X射线在自由电子上的散射实验观察。光电效应和康普顿X射线散射一直被视为光的粒子性的最有力的证据，基于点光子模型发展了量子电动力学（QED）理论。

鲜为人知的是，一些支持电磁波理论的重要研究被完全忽视并被遗忘。事实上，温策尔在1926年和贝克在1927年，以及兰姆和斯卡利在1960年代，证明光电效应可以直接通过仅考虑光的电磁波本质而无需引用光子来解释。

克莱因和西仁纳在1929年通过考虑光的波动性，无需使用光子概念就能完全解释康普顿散射。

即使在第二次世界大战后，虽然大多数科学家都遵循玻尔的互补性原则，即光在每个实验中表现出波动性和粒子性，并且相互之间是排斥的，但仍有一部分科学界坚信电磁波表示足以理解光的本质。

50年代和60年代，情况发生了彻底的变化。罗宾逊在1953年和哈德洛克在1958年进行了系统的实验，使用具有可变尺寸的矩形或圆形孔隙穿过微波，并得出当孔隙尺寸小于大约四分之一波长（~λκ/4）时，不会传输能量的结论。

亨特和瓦德林格后来也使用X波段微波进行了确认。另一方面，曼德尔在60年代进行的实验，利用新发现的激光技术，得出结论：单个光子具有圆偏振，其长度不能小于其波长λκ，更一般地，不能比其波长的立方体体积λ3κ更好地定位。

实验结果与点光子模型（QED基础）和经典连续的电磁波理论相矛盾，显示光必须由在真空中以普遍速度c传播的局域化“波包”组成，携带能量hν和动量hν/c。

实际上，点光子概念使得在QED中建立一种非常有效的数学方法，用于描述相互作用过程前后的状态。很明显，它不适合描述单个光子状态的真实本质。

20世纪70年代，革命性的参量下转换技术的发展使得可以实现只有一个光子存在于实验设备中的条件，并以极高的统计可信度进行实验。

利用这些技术，于90年代进行的双棱镜实验与玻尔的互斥原理相矛盾，表明单个光子在同一实验中同时表现出波动性和粒子性。

此外，格朗吉等人通过实验证明了光子的不可分割性，而纠缠态实验（首次由科舍尔和康明斯观察到，并在80年代进一步研究）表明光子在检测过程中应该在本地是一个完整的实体，但其真实的非局域波函数。

最后，实验研究的综合表明，单个k-模式光子是电磁场的局部不可分割段，具有圆形左旋或右旋极化，对应于自旋±h/2π，携带能量hν和动量hν/c。

其固有的空间长度延伸到波长λk，并且只能在体积~λ3k范围内被检测到，其径向扩展应与其波长的一小部分成比例。它似乎是一种局部的“波-粒子”，作为一个整体被吸收和发射，并由非局部波函数指导。

鉴于上述所有实验和理论事实，对于描述真实单个光子状态以及量子力学概念下的合适波函数的定义都存在特殊的困难。

接下来，考虑所有上述的实验和理论事实，以便获得单个光子的物理图像并建立其波函数。首先简要介绍了经典理论和量子理论之间通过矢势的联系，然后分析了产生量子化电磁场的二次量子化过程。

然后，考虑了单个光子状态的空间特性，并将矢势的量子化提升到单个光子的水平，得到符合实验证据的物理表示。

接下来，提出了一个基于矢势量子化的光子波函数，满足波动方程，薛定谔方程和质量为零的相对论粒子哈密顿量以及矢势的等效方程。最后，讨论了已建立的光子波函数的特征属性以及归一化。

经典和量子理论中的电磁场矢量势

实验证明，矢量势不仅是一种数学工具，而且是一种对电荷产生直接影响的真实物理场。它代表了从麦克斯韦方程出发的经典电磁波理论与量子电动力学（QED）之间的基本联系。

在经典理论中，电磁波的k模的能量密度取决于电场E→k(r→,t)和磁感应B→k(r→,t)的模的平方，写为：Wk(r→,t)=12(ε0∣∣∣E→k(r→,t)∣∣∣2+1μ0∣∣∣B→k(r→,t)∣∣∣

其中ε0和μ0分别是真空的电容率和磁导率，满足关系式ε0μ0c2=1，其中c是真空中的光速。

对于一个角频率为ωk且矢量势幅度为a0k(ωk)的单色平面波模式k，有：E→k(r→,t)=−2ωka0k(ωk)εˆsin(k→⋅r→−ωkt) B→k(r→,t)=−1c2ωka0k(ωk)(kˆ×εˆ)sin(k→⋅r→−ωkt)

其中εˆ是垂直于传播轴的单位矢量，∣∣∣k→∣∣∣=2π/λk是传播轴上的波矢，λk是模式k的波长。能量密度写成仅依赖于矢量势幅度的平方和角频率的函数：Wk(r→,t)=4ε0ω2k|a0k(ωk)|2sin2(k→⋅r→−ωkt)

该表达式在一个周期内的平均值，即波长内的平均值为：⟨Wk⟩=2ε0ω2k|a0k(ωk)|2

值得注意的是，平均能量密度⟨Wk⟩与任何外部体积参数无关。在经典理论中，自由腔电磁辐射模式自然占据最小体积，而在共振腔中，该体积大致对应于由边界条件和该模式的截止波矢所规定的体积。

现在，在量子描述中，给定体积V中k模光子数n(ωk)，每个光子的角频率为ωk，能量为ℏωk，能量密度简单地写为：Wk=n(ωk)ℏωkV

将经典理论中一个周期内的平均能量密度与量子描述中的平均能量密度相等，得到单个k模光子的矢量势幅度：a0k(ωk)=ℏ2ε0ωkV−−−−−

这个关系是连接光的经典和量子理论的基本桥梁，并且在QED中用于定义单个光子的矢量势幅度算符：a˜kλ=ℏ2ε0ωkV−−−−−√akλ , a˜∗kλ=ℏ2ε0ωkV−−−−−√a+kλ

其中akλ和a+kλ分别是单个k模和λ偏振光子的湮灭和产生非厄米算符。

这个过程在单个光子的矢量势幅度定义中引入了一个外部体积参数V。，可以得出结论，在自由空间中的单个光子，换句话说，在一个具有无限尺寸的腔体中，其矢量势幅度和能量都应该为零。

这个模糊性在文献中很少被提及，自动暗示了对于单个光子来说，体积V不能是任意的外部参数，而大致对应于在腔体中由单个辐射模式k的边界条件定义的体积。

单个光子的空间特性和矢量势量子化单个光子的横向膨胀，理论与实验证据单个k模光子的转动惯量Ik，其角频率为ωk，波长为λk，可写为：Ik=ℏωk

根据质能等效原理，可将归因于k模光子的质量mk（非静止质量）表示为：mk=ℏωkc2

为了估计光子的径向膨胀，在此假设单个光子状态量子化体积内的场均匀分布，并考虑两种简单情况下的机械类比，即沿传播轴的圆柱体和球体。

对于圆柱体，有Icylinder=12mkr2cylinder=12ℏωkc2r2cylinder=ℏωk，rcylinder=(2c2ω2k)1/2=λkπ2√~λk4.4

对于球体内场的分布，有Isphere=25mkr2sphere=25ℏωkc2r2sphere=ℏωk，球体的半径为rsphere=(52)1/2cωk=λkπ8/5√~λk3.9，根据上述简单的理论计算，可以假设单个k模光子的半径应为其波长的一部分，大致为~λk/4。

从实验角度来看，早在费拉第网格屏蔽的最早应用时就已经怀疑单个模式的平面电磁波应该具有最小半径。

正如在引言中提到的，罗宾逊、哈德洛克、亨特和沃德林格等进行的各种实验，使用微波并通过矩形或圆形孔径测量透射功率，得出光子的横向膨胀确实应该接近其波长的四分之一，这与基于转动惯量的上述简单计算结果相一致。

另一方面，众所周知，单个光子不能被构想在比其波长更短的长度内，并且它不能被定位在小于~λ3k的体积内，这意味着单个光子的量子化体积应该与λ3k成比例，即与ω−3k成比例。

单个光子的量子化体积

基于态密度理论的单个光子量子化体积

根据态密度理论，考虑到两个自旋值±ℏ，对应于圆偏左和圆偏右极化，以及在同一传播轴z上的两个可能方向±z，量化体积V内的k模光子数dn(ωk)在频率间隔ωk和ωk+dωk内的表达式如下：dn(ωk)=4Vω2kπ2c3dωk

同时也考虑了所有可能的状态都被占据，n(ωk)=4Vω3k3π2c3 现在考虑n(ωk)=1，对应于单个光子的量子化体积为：Vk=(34π2c3)ω−3k

最后一个表达式与实验结果相符，表明单个光子的量子化体积与ω−3k成比例，得到Vk=332πλ3k≃0.029λ3k ，与单个光子的波长λk相对应的最小量子化体积大致为其体积λ3k的3%。

基于能量归一化的单个光子量子化体积

也可以通过将平面波模式的电磁能量归一化到单个光子的能量来另外得到单个光子的量子化体积。

其中α0k(ωk)表示单个k模光子的矢量势幅，εˆkλ表示极化复单位矢量。

上述方程在任意时刻t成立，如果k模光子的极化单位矢量εˆkλ有两个正交分量eˆ1和eˆ2，满足eˆ1⋅eˆ2=0，并且εˆkλ=σk1eˆ1+σk2eˆ2，其中|σk1|2+|σk2|2=1。

显然，这些条件对于圆偏左(L)和圆偏右(R)极化单位矢量εˆL,R=12√(eˆ1±ieˆ2)自然成立，有Ek=∫2ε0ω2kα20k(ωk)d3r=ℏωk

现在，从麦克斯韦方程组的一般解导出的矢量势的量纲分析表明，它与角频率成正比A→(r→,t)=μ4π∫J→(r→′,t−∣∣r→−r→′∣∣/c)∣∣r→−r→’∣∣d3r∝ω 。

其中μ是磁导率，J是电流密度（C·m−2·s−1），中考虑矢量势幅与ω成正比，则⟨Wk⟩与ω4成正比，这在对由偶极子辐射的能量密度进行实验验证时得到了证的常数。

值得注意的是，上述表达式与能量密度由偶极子辐射的情况一样，都与角频率的四次方有关。Vk=(ℏ2ε0ξ2)ω−3k这与实验结果中的频率依赖性相吻合。

为了更精确地估计ξ，可以通过使用一些实验事实来将中的近似实验值η~1/4代入其中，以确定ξ。实际上，可以稍作重新排列。其中h是普朗克常数。

值得强调的是，在中引入η~1/4的近似实验值，得到：Q≃±1.6×10−19 C这是电子-正电子电荷，自然地出现在归一化过程中。

可以得出基本电荷的物理起源与光子矢量势强烈相关。现在，通过将中的Q替换为基本电荷e，并使用精细结构常数α=e2/4πε0ℏc=1/137，得到η=8α−−

得到矢量势幅归一化常数：ξ=±1(2π)3/2ℏ8αε0c3=−−−−−−−√±ℏ4π|e|c=±1.747×10−25 Volt⋅m−1⋅s2单个k模光子的量子化体积现在为：Vk=(ℏ2ε0ξ2)ω−3k=η22λ3k=4αλ3k≃0.029λ3k (52)这与（37）等价。

单个光子状态的螺旋状分布的矢量势场在一个波长内大致占据了λ3k体积的3%。正如前面所见，其波前截面为：Sk=8παλ2k≃0.18λ2k

这些关系对于技术应用，如波导和光纤传输，以及费拉第网格屏蔽等是有用的。

光子的基本性质——能量Ek、动量p→k和波矢k→——通过矢量势幅α0k来表达其固有的电磁性质。Ek/ℏ=∣∣p→k∣∣c/ℏ=∣∣∣k→∣∣∣c=α0k/|ξ|=ωk

根据关系和海森堡的能量-时间不确定性，得出矢量势幅-时间不确定性δ Ekδt≥ℏ→δα0kδt≥|ξ|显示了粒子（能量）和波（矢量势）是单个光子固有性质的体现。

结语

基于对矢量势是实际物理实体的实验确认，推进了理论发展，对单个光子的描述和波函数的定义进行了标准形式的补充。

单个自由腔k模光子的矢量势幅量子化为α0k=ξωk，其中ξ=ℏ/4πec，并自然得到一个矢量势-能量（电磁波-粒子）方程，表达了光子的波粒二象性。

单个光子是电磁场的局部不可分割的部分，其长度延伸到一个波长λk，并由以角频率ωk旋转的量子化矢量势组成，其圆左旋或圆右旋极化分别对应于自旋±ℏ。

矢量势的进动导致了垂直振荡的电场和磁场，其振幅与角频率的平方成正比|ξ|ω2k。

实验估计了光子的横向展宽，得出光子量子化体积Vk与λ3k成正比。光子的能量、动量和自旋可以从经典电磁表达式在Vk体积上的积分得到，表明光子不是一个点粒子，而是一个“波粒子”。

实际上，可以很容易地证明海森堡的不确定性起源正是光子的空间特性。