字节面试官让我讲讲最小生成树，我真的忍不住笑了

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大家有没有在生活中遇到这种事情

你们县城需要在几个小区之间进行修路，由于政府资金紧张，不可能所有的小区之间都进行修路，而是利用最少的资金修一条可以连接所有小区的路

如同下图所示：

当然，上述只是一个抽象化的例子，而我们实际生活中，每个小区间的距离也是不一样的，我们怎么使用最小的资金去连接所有的小区呢？

这就牵扯到我们今天的老大哥们：Kruskal 算法和 Prim 算法

这两种算法分别从边和点产生最小生成树，保证了资金的最小性

本篇文章，我们一起走近 Kruskal 算法，探究一下该算法是怎么通过边来确定最小生成树

二、Kruskal 算法是什么

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法是求连通网的最小生成树的一种方法。与普里姆（Prim）算法不同，它的时间复杂度为 O(eloge)（e为网中的边数），所以，适合于求边稀疏的最小生成树 。

因为我们的 Kruskal 算法是以边为单位，所以求一些边稀疏的最小生成树，时间复杂度比较小

我们以下面的小区为例，通过 Kruskal 算法会给我们一条连接所有小区的最短路径

三、Kruskal 算法本质

对于 Kruskal 算法来说，整体使用了 贪心 + 并查集 的思路

有不熟悉并查集的童鞋可以看一下这篇：三分钟带你学会并查集【含状态压缩】

简单来说，我们需要将所有的边放入一个堆中，按照边的大小进行排序，如下所示：1、2、3、6、7、10、12

• 我们把第一个边 1 取出，将 C小区 和 D小区 合并，目前集合：{C、D}

• 我们把第二个边 2 取出，将 A小区 和 E小区 合并，目前集合：{C、D}，{A、E}

• 我们把第三个边 3 取出，将 A小区 和 B小区 合并，目前集合：{C、D}，{A、B、E}

• 将第四个边 6 取出，将 A小区 和 D小区 合并，目前集合：{A、B、E、C、D}

• 将第五个边 7 取出，将 B小区 和 E小区 合并，由于 {A、B、E、C、D} 在一个集合，不进行合并，跳过该边
• 将第六个边 10 取出，将 B小区 和 C小区 合并，由于 {A、B、E、C、D} 在一个集合，不进行合并，跳过该边
• 依次类推…….

最终我们会得到一个路径，这也就是我们的最小生成树

由图得知，我们最小的资金需要：12

四、Kruskal 算法实现

对于 Kruskal 算法，我们需要实现两部分

• 并查集
• 贪心

1、并查集

这里简单的放下并查集的两个关键步骤

合并：

 // 合并 public void union(Node node1, Node node2) { // 找到两个节点的父节点 Node node1Parent = getParentNode(node1); Node node2Parent = getParentNode(node2); // 看看是不是一个父亲 if (node1Parent != node2Parent) { // node1、node2父亲的节点数量 int size1 = size.get(node1Parent); int size2 = size.get(node2Parent); // 谁的节点多，少的就挂在多的下面，进行合并 if (size1 >= size2) { parent.put(node1Parent, node2Parent); size.put(node1Parent, size1 + size2); size.remove(node2Parent); } else { parent.put(node2Parent, node1Parent); size.put(node2Parent, size1 + size2); size.remove(node2Parent); } } }

查询：

 public boolean isSame(Node node1, Node node2) { return getParentNode(node1) == getParentNode(node2); } public Node getParentNode(Node node) { // 为了路径压缩 Stack<Node> stack = new Stack<>(); while (parent.get(node) != node) { stack.add(node); node = parent.get(node); } while (!stack.isEmpty()) { parent.put(stack.pop(), node); } return node; }

2、Kruskal 算法

并查集的初始化：

 // 赋予初始值 public void makeSets(Collection<Node> list) { for (Node node : list) { // 初始时，每个节点的父节点均是自己，集合的数量为1 parent.put(node, node); size.put(node, 1); } }

比较器（按照边的权重排序）：

 public static class EdgeComparator implements Comparator<Edge> { @Override public int compare(Edge o1, Edge o2) { return o1.weight - o2.weight; } }

Kruskal 算法：

 public static Set<Edge> kruskalMST(Graph graph) { Union union = new Union(); // 初始化并查集 union.makeSets(graph.nodes.values()); // 建堆，按照边的权重进行排序 PriorityQueue<Edge> priorityQueue = new PriorityQueue<>(new EdgeComparator()); // 放入边 for (Edge edge : graph.edges) { priorityQueue.add(edge); } Set<Edge> edges = new HashSet<>(); // 从最小的开始 while (!priorityQueue.isEmpty()) { Edge edge = priorityQueue.poll(); // 看一下是否是一个集合的 if (!union.isSame(edge.from, edge.to)) { // 可以选取这条边，合并这两个点 edges.add(edge); union.union(edge.from, edge.to); } } return edges; }

以上图的描述均使用图的形象化描述：图的形象化描述

五、总结

通过以上的描述，我们可以解决我们开头说的那个问题：你们县城需要在几个小区之间进行修路，由于政府资金紧张，不可能所有的小区之间都进行修路，而是利用最少的资金修一条可以连接所有小区的路

同时，对于 Kruskal 的代码也需要多写几遍