线性代数之四：线性变换

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4.1 线性变换

线性变换：一个将向量空间V映射到向量空间W的映射L，如果对所有V中的向量v以及标量a,b，都有$L(av_1+bv_2)=aL(v_1)+bL(v_2)$，则称L为V的线性变换(Liner transformation)，记作$L:V->W$，如果V和W是相同的，称L是V的线性算子(liner operator)。

线性变换的性质：若L为从向量空间V到向量空间W的线性变换，则有：

• $L(0)=0$
• $L(a_1v_1+a_2v_2+....+a_nv_n)=a_1L(v_1)+a_2L(v_2)+...+a_nL(v_n)$
• $L(-v) = -L(v)$

定义：若$L:V->W$为一线性变换，则L的核ker(L)定义为：

$$ker(L)=\{v \in V|L(v)=0_w\}$$

定义：若$L:V->W$为一线性变换，且S为V的一子空间，则S的像(image)定义为：

$$L(S)=\{w\in W|w=L(v),v\in S\}$$ ，V的像L(V)称为L的值域(range)。

定理：在上面两个定义的基础上，ker(L)是V的子空间，L(S)为W的子空间。

4.2 线性变换与矩阵表示

定理：若L为一从$R^n$到$R^m$的线性变换，则存在一个m*n的矩阵A，使得每个$R^n$中的元素x，都有$L(x)=Ax$。
事实上，A的第j个列向量为：$a_j=L(e_j),j=1,2,...n,e_j为标准基$
此定理说明线性变换可以由矩阵乘法来计算，并给出了计算矩阵A的方法。

矩阵表示定理：若$E=[v_1,v_2,...,v_n]$和$F=[u_1,u_2,...,u_m]$分别为向量空间V和U的有序基，则对每一线性变换L:V->U，存在矩阵$A_{m*n}$，使得对任意$w\in V$，L(w)在F下的表示为：

$$[L(w)]_F=A[w]_E \tag{3}$$

A称为L相应于E,F的表示矩阵，A的各列：

$$a_j=[L(v_j)]_F,j=1,2,...,n,v_j为E的有序基$$

定理：若$E=[v_1,v_2,...,v_n]$和$F=[u_1,u_2,...,u_m]$分别为Rn和Rm的有序基，若L:V->U为线性变换，且A为L相应于E和F的表示矩阵，$U=(u_1,u_2,...,u_m)$，则

$$a_j=U^{-1}L(v_j)\tag{4}$$

示例：线性算子L为将向量进行扩展2倍的操作，向量空间的基为$E[(1,0)^T,(0,1)^T]$, $F[(2,3)^T,(1,2)^T]$。
向量$w=(1,2)^T$，w基于E的表示为$[w]_E=(1,2)^T$，有$[L(w)]_E=(2,4)^T$，$[L(w)]_F=(0,2)^T$。因$U^{-1}=\left[ \matrix{2&-1\cr -3&2\cr } \right]$，由(4)式可得$A=\left[ \matrix{4&-2\cr -6&4\cr } \right]$。可验证满足(3)式。

推论：若A为线性变换L相应基于E,F的表示矩阵，则$(u_1,...,u_m|L(v_1),...,L(v_n))$的行最简形为(I|A)
推论给出了计算线性变换的表示矩阵的方法，即构造U|L(v)的增广矩阵，对U做行变化将其变换为I则L(v)部分即变换为表示矩阵A。

4.3 计算机图形与动画

平面上的图形可以在计算机上存储为一个顶点的集合。若有n个顶点，可将其存储在2*n的矩阵V中，顶点的x坐标存储在第一行，y坐标存储在第二行。则图形的下面4种操作都可以使用线性变换来完成，变换后的顶点矩阵V’=A*V。

• 放大和缩小：其表示矩阵为$A=cI$，c>1时为放大，c<1时为缩小。
• 关于x轴对称：其表示矩阵为$A=[e1,-e2]
• 关于y轴对称：其表示矩阵为$A=[-e1,e2]
• 旋转：令旋转角度为$\theta$，则表示矩阵为$A=\left[\matrix{cos\theta & -sin \theta \cr sin \theta & cos \theta}\right]$
• 平移：由于平移不是线性变换，因此要借助齐次坐标系，将二维向量等同于三维中与此向量前两个坐标相同，而第三个坐标为1的向量。因此所有顶点坐标变为(x.y,1)，假定平移量为(a,b)，此时表示矩阵为$A=\left[ \matrix{1&0&a \cr 0&1&b \cr 0&0&1} \right]$

4.4 相似性

若L为向量空间V的线性算子，且L可表示为矩阵A，然而A的具体取值依赖有序基的选择。下面的定理用于刻画相同的线性算子不同表示矩阵的关系。

定理：令$E=[v_1,v_2,...,v_n]$和$F=[w_1,w_2,...,w_m]$为一个向量空间V的两个有序基，并令L为V上的线性算子。若A为L相应于E的表示矩阵，B为L相应于F的表示矩阵，令S为从F到E的转移表示矩阵，则

$$B=S^{-1}AS$$


定义：令A和B为n阶方阵，如果存在一个非奇异矩阵S，使得

B=S−1AS
$B=S^{-1}AS$,则称B相似于A。