费马大定理——证明主线概述

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阅读门槛：正常来说读者应该有模算术的基础，但它也不是必须的，不过理解能力和基本数学素养最好是高等数学级别的。另外本文比较长，因为我们要铺垫一些概念性的东西，它们的存在是定理证明环环相扣的基础，因此，如果你感兴趣的话请耐心一些。

皮埃尔·德·费马

Fermat’s Last Theorem，费马的最后定理，这是它的英文直译，也是比较严谨的“官称”，中文翻译“费马大定理”。之所以叫“最后定理”，不是说，这是费马有生之年提出的最后一个定理，而是，这是费马一生提出的众多猜想当中，最后一个未被验证的。当然了，现在它不再是猜想，而是真正的费马最后定理。出于我们的阅读习惯，后文仍旧称之为“费马大定理”。

费马和拉马努金类似，在证明的看重方面比亚瑟·凯莱还差一些。凯莱虽然不太看中证明，但他知道证明的重要性，只是他更愿意提出新概念，比如行列式、矩阵等。费马和拉马努金则完全不同，费马号称“业余数学家之王”，他提出过很多的命题，但都不去证明。据说除了费马数［2＾(2＾n)］+1以外，其它被验证的猜想都是正确的，包括他“最后的定理”。我知道的信息并不权威，传说，费马在费马数的结论上也是有所怀疑的，他没有完全确定那个公式导出的都是素数。如果这是真的，那就意味着他有超人般的数论直觉，与拉马努金不相上下。

关于大定理，费马有耳熟能详的传奇故事：将一个立方数分解成两个立方数之和，或一个四次方数分成两个四次方数之和，或者更一般地，将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。对此我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下！

现在几乎没人相信费马真的有过这样的证明。虽然没有定理表明费马大定理不能在初等意义下被证明，但是我们已有的解决方案显示，这不是费马所处时代的数学可以解决的。因此，可以比较靠谱的估计，用初等方式证明该定理的概率不会超过1%。

下面我们开始讨论证明主线，不用太担心，我们选择的讲述内容涉及的概念都不算困难。

证明它的路线所用的主要工具是所谓的椭圆曲线，它的一般形式如下：

y²=ax³+bx²+c，其中a、b、c都是给定的值。

椭圆曲线不是椭圆，它们是数学家在计算椭圆周长时出现的。之所以一说它就把归为所谓的“代数几何”，那是因为，椭圆曲线其实是一个不相宜的名字，它诞生于所谓的“代数簇”，这有点像解析几何上的曲面，只不过代数簇是代数几何的“曲面”。既然它诞生于代数簇，那么它的标准称呼就是“一维阿贝尔簇”，你看，这回够“代数几何”了吧。

看它的方程，似乎有点像三次函数，但是它的“因变量y”是二次的。它不算太复杂，但肯定比一元三次方程复杂，尤其是它的判别式。我们需要两个特殊的椭圆曲线用作后面的例子，它们是

E₁：y²=x³+x

E₂：y²=x³-4x²+16

它们的图像分别是图一和图二。

图一

图二

第一个比较重要的概念就是所谓的椭圆曲线上模p的点。从现在开始字母p就代表素数，以后不再重复强调。

在基本素养这块你至少应该知道模算术的一些概念，比如x≡1(mod 4)的含义，它读作x与1模4同余，意思是说x-1是4的整数倍，即x-1=k·4，k∈Z，Z是整数集。在下面叙述中，模p和mod p是一个意思。

另外你还应该知道mod n，n＞2时是对Z的一种实用的划分，我们重点关注mod 4。它把Z划分成如下四个子集【我们只看非负的元素】，利用上面的模算术的公式，你能得到它们的元素分别是：

［0］=0，4，8，12，16，…

［1］=1，5，9，13，17，…

［2］=2，6，10，14，18，…

［3］=3，7，11，15，19，…

这个划分的意思就是对于任意的整数x，它一定与0、1、2、3中的一个数模4同余，写成表达式就是x≡k(mod 4)，x取体整数，k取0、1、2、3。

那么在该分类中，你对于素数的分布发现什么规律了？奇素数都在［1］和［3］当中，对吧，这样我们就用mod 4对全体奇素数做了分类。

现在我们要把mod p用到椭圆线上，也就是要在模算术的意义下去计算椭圆曲线上的点。用我们的例子E₁：y²=x³+x来说就是我们要计算y²=x³+x(mod p)，其中的点要在模p的意义下符合E₁的方程。这些点都是非负整数点。

E₁在mod 2下只有两个这样的点(0,0)和(1,0)，而在mod3下，它只有三个点(0,0)、(2,1)、(2,2)，之后再顺次取相应的素数p，我们发现mod p下点的个数，有时也是某个素数，但未必是mod p的那个p。为了讨论方便我们引进一个符号N(p)，表示mod p下椭圆曲线E上点的个数。我们列出19以内E₁的p与N(p)：

p：2，3，5，7，11，13，17，19

N(P)：2，3，3，7，11，19，15，19

这些N(p)有些是等于p的，而有些不是。把N(P)中那些是素数的数拿出来，发现除了2以外，如果按照上面mod 4对奇素数的分类， p=N(p)的这些p正好在集合[3]中【当然了，我们举例的数字比较少，不过，你往后列，素数依旧是[3]中的】，因此我们有下述定理的上半部分：

●如果p≡3(mod 4)，那么椭圆曲线E₁模p的点的个数恰好为N(p)=p。

为啥这只是定理的上半部分呢？很显然，mod 4对于奇素数的分类还有[1]，即满足p≡1(mod 4)的那些p。然而下半部分定理的规律要复杂很多：

●如果p≡1(mod 4)，记p=A²+B²，其中A为正奇数，则N(P)=p±2A，其中在A≡1(mod 4)时取负号，在A≡3(mod 4)时取正号。

不要害怕定理的下半部分，重要的不是定理的含义，而是概念N(P)=p±2A。在一般意义上我们引出了由此定义的一个核心概念：a(p)=p-N(P)，称之为p-亏量。定理下半部分的性质实际上是在描述p-亏量的某种规律。

p-亏量这个名称只是一个临时名字，他的真正名字特别适合摆谱用，叫”椭圆曲线p进上同调上的弗罗贝尼乌斯迹”。【这里说个好玩的，相信我，大约90%的普通人读这句话的时候，断句都是不正确的，它应该这么断：椭圆曲线/p进/上同调上的/弗罗贝尼乌斯/迹。p进是指p进数域，这是一个数论名称，上同调是一个代数概念。发现没有，对于数学来说即便每一个字都是中文，能不能理解意思先不说，想正确断句都是不容易的。说这些只是让你对这个深奥的领域有个印象，不要被网上的民科误导，以为所有的数论内容不是哥猜、孪猜就是黎猜】亏量是形象且易懂的，他就是说两个数相差的值，而所谓的弗罗贝尼乌斯迹，显然是在表明该概念虽然简单，但是它却诞生于更加复杂的数学理论中。

不过有一点需要注意，定理真实的发现与证明过程与我们的讲述过程正好相反，一般来说，像这种数论命题都是先进行大量的数值运算，然后检查得到结果的某种分布规律，提出相应的猜想，最后去证明。因此对于E₁的模p的点，我们是先提出p-亏量的概念，然后去计算，最后是发现该规律从而再证明的。

那么，p-亏量的上述模式是否对于所有的椭圆曲线都适用的？很遗憾，不是。上述例子主要是让你熟悉N(P)的定义以及p-亏量概念的由来。p-亏量a(p)真正的”一般规律”是传说中的模性模式。这是本文最核心的概念，也是证明费马大定理的关键。下面我们来体会一下模性模式这个概念的一个轮廓。

数学家们花了很长时间发现这样一个规律，我们以E₂为例子来说明。先看一个无穷乘积：

θ=T[(1-T)(1-T¹¹)]²×[(1-T²)(1-T²²)]²×[(1-T³)(1-T³³)]²……

我去，这式子有点复杂！没关系，把前面的因子先乘起来，然后再展开成像幂级数那样指数由小到大的排列形式，我们取前13项，有：

θ=T-2T²-1T³+2T⁴+1T⁵+2T⁶-2T⁷-2T⁹-2T¹⁰+1T¹¹-2T¹²+4T¹³+……

然后再检查E₂的p≤13的p-亏量：

a(2)=0，a(3)=-1，a(5)=1，a(7)=-2，a(11)=1，a(13)=4。

把p-亏量对照展开式中变色的数字，你发现了什么？除了a(2)，它们是相等的，这正是该模式关于E₂的结论。令数学家们惊讶的是，这对所有的奇数p都成立。我们称之为关于椭圆曲线E₂的模定理：

●设椭圆曲线E₂为y²=x³-4x²+16，无穷乘积为θ=T[(1-T)(1-T¹¹)]²×[(1-T²)(1-T²²)]²×[(1-T³)(1-T³³)]²……，将其展开成和式表示θ=c(1)T+c(2)T²+c(3)T³+c(4)T⁴+……。对于素数p≥3，E₂的p-亏量a(p)就等于c(p)。

日本数学家谷山丰基于此提出了一个一般性的想法：上述的模式可能对于所有的椭圆曲线都有效！这之后，志村五郎将谷山丰的想法提炼成严格的数学命题：

●每个椭圆曲线都可以模形式化，即椭圆曲线的p-亏量具有模性模式。

这是有名的模猜想，又称谷山-志村猜想。它是椭圆曲线最深刻的结论之一！

模性模式粗略的说就是和上面E₂的模定理差不多：对于任意的椭圆曲线E，都存在着一个无穷级数θ=c(1)T+c(2)T²+c(3)T³+c(4)T⁴+……，使得对大多数素数p，系数c(p)等于E的p-亏量a(p)，并且该级数拥有复数意义下的某种优美的变换性质。

这就是椭圆曲线E的P-亏量的模性模式！有了这个绝对的杀手锏，现在我们来攻克费马大定理。

费马大定理是说：对于n≥3，丢番图方程Aⁿ+Bⁿ=Cⁿ没有非零整数解。

因为n是＞2的整数，那么它只有素数和合数两种类型，现在令n是合数，即n=pm，m是某个正整数。每个合数都能写成这样，这是算术基本定理保证的。费马方程在合数指数的情况下就变为(A^m)^p+(B^m)^p=(C^m)^p。因为最外层的指数是素数，那么如果费马方程在这种情况下有解，显然A、B、C就是对应的合数指数mp的解。因为p是任选的，所以只要素数指数有解，那么合数指数一定有解。

反之，如果任意素数指数都没有解，那么任意一个以该素数为因数的合数指数也没有解【如果你不理解这个命题，可以用反证法，假设合数指数mp有解A、B、C，那么该指数的方程就等价于(A^m)^p+(B^m)^p=(C^m)^p，它意味着指数p是有解的，矛盾】，从而整个≥3的所有整数指数都没有解。因此我们只看素数指数就行。

数学家弗雷是第一个发现椭圆曲线与费马定理联系的人，他给出了如下的想法：费马方程如果有非零整数解(A，B，C)，那么把A和B代入下面的椭圆曲线当中有:

E(A,B)：y²=x(x+A^p)(x-B^p)。

曲线E(A,B)现在已经很著名了，称之为弗雷曲线。再考察其判别式：

Δ(E(A,B))=(A^2p)·(B^2p)·(A^p+B^p)²=(ABC)^2p

它是整数的2p次方。弗雷认为这个判别式的结果是如此特殊，以至于不存在这样的椭圆曲线【这里你不用纠结为什么该曲线不存在，椭圆曲线的判别是一般都是比较复杂的，你只需要知道这种类型的判别式不符合椭圆曲线判别式的性质】，但是他没有给出不存在性的证明。这一点是数学家里贝特完成的，他证明了如下定理：

●如果A^p+B^p=C^p，且ABC≠0，那么弗雷曲线E(A,B)的p-亏量a(p)不具有模性模式。

在里贝特超强定理的鼓舞下，安德鲁·怀尔斯花了6年时间想证明模猜想，也就是前面的谷山-志村猜想，但是他发现这猜想极为困难，于是他退而求其次，去证明椭圆曲线中那些被称为半稳定的椭圆曲线【半稳定的曲线是对所谓“不好的素数”的P-亏量的一种定义或者约束，不用深究半稳定的概念，否则你又会陷到“不好的素数”的概念中，你只要知道半稳定的椭圆曲线是椭圆曲线这个大集合中的一个真子集就可以了】。

问题来了，为啥他要证明半稳定的那些椭圆曲线呢？

因为上面的弗雷曲线是半稳定的！据说怀尔斯从小的梦想就是证明费马大定理，因此他最终的目标是费马大定理，而不是模猜想。里贝特的结论已经在暗示搞定弗雷曲线所在的那类曲线就能证明费马大定理。另外，似乎从技术上来说，证明半稳定的曲线要比证明整个模猜想要容易，然而这是一种错觉！事实上，即便面对的是半稳定的椭圆曲线，怀尔斯也花了很久很久，付出了巨大的努力，期间还发现了证明的错误，从而开始了返工。半稳定的曲线曾一度让他感觉到了无能为力，他甚至公布了证明过程及其疑难，从而广泛地征求解决方法……从半稳定曲线这里你应该能看出后面的大BOSS模猜想得有多难证明！

最终他在数学家泰勒的帮助下，花了一年多的时间搞定了关于半稳定椭圆曲线的模猜想，从而证明了费马大定理。他拿了奖金并与费马墓合了影，结束了该定理350多年的传奇历程。

我们把证明步骤总结如下：

●设p≥3是素数，假设A^p+B^p=C^p有非零整数解(A，B，C)，并且ABC是互素的，即gcd(A,B,C)=1。【互素就是要求它们没有公因数。如果不互素，可以在方程的两边消掉公因数变成互素的】

●设E(A,B)：y²=x(x+A^p)(x-B^p)是弗雷曲线，根据性质它是半稳定的。

●怀尔斯的定理告诉我们每个半稳定的椭圆曲线具有模性模式，即p-亏量a(p)具有模性模式。

●里贝特的定理告诉我们弗雷曲线E(A,B)异常怪异，它的p-亏量a(p)没有模性模式。

●上述矛盾使得我们证明了素数幂的费马方程没有非零整数解，从而≥3的所有整数幂的费马方程都没有非零整数解。

至于完整的模猜想，那是在2001年，在怀尔斯工作的基础上才被四个数学家彻底证明了。

结束：本文是以尽量简单的概念来阐述费马大定理的证明主线，如果你和我一样喜欢费马大定理，希望本文能帮你理解，但不敢保证一定能做到。

作为我最喜欢的数论命题之一，我没有学的太深，因为它真的很复杂，我主要参考的是西尔弗曼的《数论概论》，它对初学者比较温和，推导比较详尽，但涉及的层面肯定也是很浅的。

初学者也可以看下面这本，它讲的也很不错。

几乎没有费马大定理完整的、本科级的教材，因为怀尔斯的定理是代数几何的瑰宝，是亚历山大·格罗滕迪克发展的概形理论的内容，因此，除非你要彻底往这个方向发展、研究，否则，上面关于模性模式的所有严格的推理不可能在初等数论里展现。因此，研究模性模式或者椭圆曲线就是研究代数几何。

不过数论有它自己的发展，凭借费马定理证明的大成，类域论悄然壮大了，朗兰兹的猜想有些也与它有关。这方面的书到是有，日本作者加藤和也等著的两卷本《数论》是这方面的经典。它介绍了很多深刻的结论，包括类域论与费马大定理的联系，黎曼ζ函数与p进数域【我们前面提过它】的联系等等。真正想研究数论、黎曼猜想啥的应该是把这本书吃透，而不是只讨论高等数学以下的初等算术。