度量空间欧氏空间与拓扑空间

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数学上的度量空间与欧几里得空间存在着相互联系：

比如LP空间就是一个度量空间，其中的元素是函数：

度量空间只要满足定义中的三个条件，其度量可以是任意一个非负数值函数。

度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的线段的长度。度量空间中的元素是可以是点、向量或者函数。

‌在欧几里德空间中，向量可以通过内积运算转化为度量空间中的点。内积，也称为点积或数量积，是实数域R上的两个向量之间的二元运算，返回一个实数值标量。

‌欧几里得空间最重要的是定义了内积和由此派生的距离度量，通常用于讨论向量的长度、夹角等几何性质。‌欧几里得空间的基本元素是是点和向量。

另外，欧式空间中存在坐标系。

如果是二维或者三维空间，则可以计算出两点之间的直线长度。

而欧氏距离是通过内积得到的。

拓扑空间则是基于集合进行定义的：

设X是一个集合，T是X的子集族（其元素称为开集），则(X,T)被称为一个拓扑空间，如果下面的性质成立：

1. 空集和X是开集，

2.任意开集的并是开集，

3.有限个开集的交是开集。

这时，X中的元素称为点。我们也称T是X上的一个拓扑。

度量空间是一种特殊的拓扑空间，所有度量空间都是拓扑空间，但并非所有拓扑空间都是度量空间。度量空间满足拓扑空间的定义，并且具有额外的距离信息。