通用特殊矩阵和专门学科特殊矩阵的创建

通用的特殊矩阵：

zeros函数：产生全0矩阵，即零矩阵。

ones函数：产生全1矩阵，即幺矩阵。

eye函数：产生对角线为1的矩阵。当矩阵是方阵时，得到一个单位矩阵。

rand函数：产生（0,1）区间均匀分布的随机矩阵。

randn函数：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。

Zeros函数的调用格式：

（1） zeros（m）：产生m×m零矩阵；

（2） zeros（m，n）：产生m×n零矩阵；

（3） zeros（size(A)）：产生与矩阵A同样大小的零矩阵；

例一：首先产生5阶两位随机整数矩阵A，再产生均值为0.6，方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵B，最后验证（A+B）I=IA+IB（I为单位矩阵）。

提示：（1）rand函数：产生（0,1）开区间均匀分布的随机数x。

（2）fix（a+（b-a+1）*x）：产生[a,b]区间上均匀分布的随机整数。

（3）randn函数：产生均值为0、方差为1的标准正态分布随机数x。

（4）μ+σx：得到均值为μ、方差为σ²的随机数。

解答：

A=fix(10+(99-10+1)*rand(5))

A =

96 92 86 45 34

53 81 94 68 14

82 96 71 25 18

22 69 78 73 84

47 13 76 12 72

>> B=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)

B =

0.3613 0.7009 0.7985 0.2161 0.7174

1.0333 0.6989 0.9457 0.2479 0.5287

0.0588 0.3265 0.9508 0.5978 0.9533

0.5677 0.5905 0.3269 1.0847 0.2556

0.5236 0.5479 0.6245 0.3566 0.6103

>> C=eye(5)

C =

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

>> (A+B)*C==C*A+B*C

ans =

5×5 logical 数组

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

用于专门学科的特殊矩阵：

（1） 魔方矩阵—magic square

M=magic（3）

M=

N阶魔方阵由1,2,3……n²共n²个整数组成，且每行、每列以及主、副对角线上各n元素之和都相等。

N阶魔方阵每行每列元素的和为（1+2+3+……+n²）/n=（n+n³）/2。

MATLAB函数magic（n）产生一个特定的魔方阵。

例2：产生8阶魔方阵，求其每行每列元素的和。

解：M=magic(8);

>> sum(M(1,:))

ans =

260

>> sum(M(:,1))

ans =

260

（2） 范德蒙矩阵

A=vander(1:5)

A =

1 1 1 1 1

16 8 4 2 1

81 27 9 3 1

256 64 16 4 1

625 125 25 5 1

（3） 希尔伯特矩阵

N阶希尔伯特（Hilbert）矩阵的一般形式：

1 1/2 …… 1/n

1/2 1/3 …… 1/(n+1)

…………………………

1/n 1/(n+1)……1/(2n-1)

希尔伯特矩阵的元素为H(i,j)=1/(i+j-1)。

例如：

format rat

>> H=hilb(4)

H =

1 1/2 1/3 1/4

1/2 1/3 1/4 1/5

1/3 1/4 1/5 1/6

1/4 1/5 1/6 1/7

注：其中命令第一条是将格式转化为有理分数的形式。

（4） 伴随矩阵

MATLAB生成伴随矩阵的函数是compan（p），其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂系数排在后。例如，生成多项式x³-2x²-5x+6的伴随矩阵。

p=[1 -2 -5 6]

>> A=compan(p)

A =

2 5 -6

1 0 0

0 1 0

伴随矩阵的特征值是多项式等于多项式方程的根。

（5） 帕斯卡矩阵：

把二项式系数依次填写在矩阵的左侧对角线上，然后提取左侧的n行n列元素即为n阶帕斯卡（pascal）矩阵。

帕斯卡矩阵的第一行元素和第一列元素都为1，其余位置是该元素的左边元素与上面元素相加。

A=pascal(5)

A =

1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

1 3 6 10 15

1 4 10 20 35

1 5 15 35 70

例3：生成5阶帕斯卡矩阵，验证它的逆矩阵的所有元素也为整数。

>> format rat

>> pascal(5)

ans =

1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

1 3 6 10 15

1 4 10 20 35

1 5 15 35 70

>> inv(p)

ans =

5 -10 10 -5 1

-10 30 -35 19 -4

10 -35 46 -27 6

-5 19 -27 17 -4

1 -4 6 -4 1